١) الفكرة الأساسية

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يكون من مضاعفات عددين أو أكثر معًا.
بمعنى آخر: نبحث عن أصغر عدد يقبل القسمة على الأعداد المعطاة بدون باقي.

مثال: مضاعفات ٤ هي: ٤، ٨، ١٢، ١٦، ٢٠، ٢٤...
ومضاعفات ٦ هي: ٦، ١٢، ١٨، ٢٤، ٣٠...
أصغر مضاعف مشترك بينهما هو ١٢، إذن: م.م.أ لـ ٤ و٦ = ١٢.

٢) متى أستخدم المضاعف المشترك الأصغر؟

نستخدم المضاعف المشترك الأصغر عندما يكون السؤال عن تكرار شيء أو التقاء حدثين في وقت واحد.
غالبًا تظهر في السؤال عبارات مثل: متى يتكرر؟ متى يحدثان معًا؟ بعد كم دقيقة؟ كل كم يوم؟ أول مرة يلتقيان؟ أصغر عدد يقبل القسمة على كذا وكذا؟

مثال سريع: مصباح يضيء كل ٦ ثوانٍ، ومصباح آخر يضيء كل ٨ ثوانٍ. بعد كم ثانية يضيئان معًا لأول مرة؟
هنا نبحث عن م.م.أ لـ ٦ و٨، وهو ٢٤. إذن يضيئان معًا بعد ٢٤ ثانية.

٣) الفرق بين القاسم والمضاعف

القاسم المشترك الأكبر نستخدمه غالبًا مع التقسيم والتوزيع إلى أكبر مجموعات متساوية.
المضاعف المشترك الأصغر نستخدمه غالبًا مع التكرار والزمن والدورات.

مثال للتفريق: إذا كان عندنا ٢٤ قلمًا و٣٦ دفترًا ونريد توزيعها على أكبر عدد من الطلاب، فهذا قاسم مشترك أكبر.
أما إذا كان طالب يحل اختبارًا كل ٤ أيام، وطالب آخر كل ٦ أيام، ونريد معرفة متى يحلان اختبارًا في نفس اليوم، فهذا مضاعف مشترك أصغر.

٤) طرق الحل

الطريقة الأولى: كتابة المضاعفات

هذه الطريقة مناسبة للأعداد الصغيرة.
مثال: أوجد م.م.أ لـ ٥ و٦.
مضاعفات ٥: ٥، ١٠، ١٥، ٢٠، ٢٥، ٣٠
مضاعفات ٦: ٦، ١٢، ١٨، ٢٤، ٣٠
أصغر مضاعف مشترك هو ٣٠، إذن: م.م.أ = ٣٠.

الطريقة الثانية: التحليل إلى عوامل أولية

هذه الطريقة أدق مع الأعداد الأكبر.
مثال: أوجد م.م.أ لـ ١٢ و١٨.
١٢ = ٢ × ٢ × ٣
١٨ = ٢ × ٣ × ٣
نأخذ كل العوامل المطلوبة بأكبر تكرار ظهرت به:
٢ × ٢ × ٣ × ٣ = ٣٦
إذن: م.م.أ لـ ١٢ و١٨ = ٣٦.

الطريقة الثالثة: استخدام العلاقة بين القاسم والمضاعف

إذا عرفت القاسم المشترك الأكبر، يمكنك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بهذه العلاقة:

مثال: أوجد م.م.أ لـ ٨ و١٢.
ق.م.أ لـ ٨ و١٢ = ٤
إذن:

٥) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين ٦ و٩.
أ) ١٢
ب) ١٥
ج) ١٨
د) ٢٧

مثال ٢

أوجد م.م.أ لـ ١٠ و١٥.
أ) ٢٠
ب) ٢٥
ج) ٣٠
د) ٤٥

مثال ٣

حافلة تصل إلى محطة كل ١٢ دقيقة، وحافلة أخرى تصل إلى نفس المحطة كل ١٨ دقيقة. إذا وصلتا معًا الآن، فبعد كم دقيقة ستصلان معًا مرة أخرى؟
أ) ٢٤
ب) ٣٠
ج) ٣٦
د) ٤٨

مثال ٤

ما أصغر عدد يقبل القسمة على ٤ و٦ و٨ بدون باقي؟
أ) ١٢
ب) ١٦
ج) ٢٤
د) ٣٢

٦) سؤال قدرات بصيغة أذكى

يدور عدّاء حول مضمار كل ٨ دقائق، ويدور عدّاء آخر حول المضمار نفسه كل ١٢ دقيقة. إذا انطلقا معًا من نقطة البداية، فبعد كم دقيقة يلتقيان عند نقطة البداية مرة أخرى؟
أ) ١٦
ب) ٢٠
ج) ٢٤
د) ٣٦

٧) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: الخلط بين القاسم والمضاعف. إذا كان السؤال عن توزيع أو تقسيم إلى أكبر مجموعات، فغالبًا المطلوب قاسم مشترك أكبر. أما إذا كان السؤال عن تكرار أو وقت أو دورات، فغالبًا المطلوب مضاعف مشترك أصغر.

الخطأ الثاني: اختيار أي مضاعف مشترك وليس الأصغر. مثلًا ٢٤ و٣٦ كلاهما مضاعفان مشتركان للعددين ٦ و١٢، لكن الأصغر هو ١٢، لذلك الجواب هو ١٢ وليس ٢٤ أو ٣٦.

الخطأ الثالث: نسيان كلمة "أصغر". في أسئلة المضاعف المشترك الأصغر، المطلوب ليس عددًا كبيرًا يقبل القسمة فقط، بل أصغر عدد يحقق الشرط.

الخطأ الرابع: استخدام القسمة بدل المضاعفات. عندما يقول السؤال: "بعد كم دقيقة يحدثان معًا؟" لا تبحث عن عدد يقسم الرقمين، بل ابحث عن عدد يكون من مضاعفاتهما.

٨) حيل سريعة

الحيلة الأولى: جرّب الخيارات من الأصغر إلى الأكبر. في أسئلة المضاعف المشترك الأصغر، ابدأ من أصغر خيار، واختبر هل يقبل القسمة على كل الأعداد. أول خيار ينجح غالبًا هو الجواب.

مثال: أصغر عدد يقبل القسمة على ٦ و٨؟
أ) ١٢
ب) ١٨
ج) ٢٤
د) ٣٢
نختبر ١٢: لا يقبل القسمة على ٨.
نختبر ١٨: لا يقبل القسمة على ٨.
نختبر ٢٤: يقبل القسمة على ٦ و٨.
الإجابة: ٢٤.

الحيلة الثانية: إذا كان أحد العددين من مضاعفات الآخر، فالجواب هو العدد الأكبر.
مثال: م.م.أ لـ ٥ و٢٠ = ٢٠؛ لأن ٢٠ يقبل القسمة على ٥ وعلى ٢٠.

الحيلة الثالثة: أسئلة الوقت والدورات غالبًا مضاعف مشترك أصغر. إذا رأيت: كل ٦ دقائق، كل ٨ أيام، كل ١٢ دورة، متى يحدثان معًا؟ فكر مباشرة في م.م.أ.

٩) تدريب سريع

سؤال ١

أوجد م.م.أ لـ ٣ و٥.
أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٥
د) ٢٠
الإجابة: ج) ١٥.

سؤال ٢

أوجد م.م.أ لـ ٦ و٨.
أ) ١٢
ب) ١٨
ج) ٢٤
د) ٣٠

سؤال ٣

جرس يرن كل ١٠ دقائق، وجرس آخر يرن كل ١٥ دقيقة. إذا رنّا معًا الآن، فبعد كم دقيقة يرنّان معًا مرة أخرى؟
أ) ٢٠
ب) ٢٥
ج) ٣٠
د) ٤٥

سؤال ٤

ما أصغر عدد يقبل القسمة على ٦ و٩ و١٢ بدون باقي؟
أ) ١٨
ب) ٢٤
ج) ٣٦
د) ٤٨

١٠) ملخص الدرس

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد يقبل القسمة على عددين أو أكثر بدون باقي. نستخدمه غالبًا في أسئلة التكرار والزمن والدورات، مثل: متى يتكرر الحدث؟ متى يحدثان معًا؟ بعد كم دقيقة أو يوم؟ أسرع طريقة في الاختبار هي تجربة الخيارات من الأصغر إلى الأكبر، وأول خيار يقبل القسمة على كل الأعداد يكون هو الإجابة غالبًا.