١) الفكرة الأساسية

في أغلب أسئلة الزوايا لا تحتاج إلى قوانين كثيرة، بل تحتاج أولًا إلى تحديد نوع العلاقة بين الزوايا.

أهم الأعداد التي يجب أن تكون حاضرة في ذهنك:

للزاوية القائمة.

للخط المستقيم والزوايا المتكاملة.

للدورة الكاملة والزوايا حول نقطة.

٢) أنواع الزوايا الأساسية

زاوية حادة: أصغر من .

زاوية قائمة: تساوي .

زاوية منفرجة: أكبر من وأصغر من .

زاوية مستقيمة: تساوي .

دورة كاملة: تساوي .

٣) الزوايا المتجاورة على مستقيم

إذا تجمعت زوايا متجاورة على خط مستقيم، فإن مجموعها:

مثال

زاويتان على مستقيم، إحداهما . أوجد الأخرى.

أكثر من زاويتين

إذا كانت الزوايا على مستقيم:

فإن:

٤) الزوايا حول نقطة

مجموع الزوايا التي تكوّن دورة كاملة حول نقطة يساوي:

مثال

زوايا حول نقطة قياسها .

٥) الزوايا المتتامة

زاويتان متتامتان إذا كان مجموعهما:

مثال

إذا كانت إحدى الزاويتين ، فالأخرى:

٦) الزوايا المتكاملة

زاويتان متكاملتان إذا كان مجموعهما:

مثال

إذا كانت إحدى الزاويتين ، فالأخرى:

تمييز سريع

متتامتان ← ٩٠°.
متكاملتان ← ١٨٠°.

٧) الزاويتان المتقابلتان بالرأس

عندما يتقاطع مستقيمان، تتكون أربع زوايا. كل زاويتين متقابلتين بالرأس متساويتان.

مثال

إذا كانت إحدى الزوايا ، فإن الزاوية المقابلة لها بالرأس:

٨) الزاوية المقابلة والزاوية المجاورة

عند تقاطع مستقيمين:

المقابلة بالرأس: تساوي الزاوية الأصلية.

المجاورة على المستقيم: تكملها إلى .

مثال

إذا كانت زاوية :

المقابلة بالرأس = .

المجاورة = .

٩) تكتيك الزاويتين فقط عند تقاطع مستقيمين

إذا تقاطع مستقيمان، فمهما بدت الرسمة مزدحمة يوجد قياسان فقط للزوايا:

و:

كل زاويتين متقابلتين تأخذان القياس نفسه.

١٠) إيجاد متغير من زوايا على مستقيم

إذا كانت الزوايا على خط مستقيم مكتوبة بمتغيرات، اجمعها وساوها بـ .

مثال

الزوايا:

إذن:

١١) معادلة من زاويتين متقابلتين بالرأس

إذا أعطاك السؤال عبارتين جبريتين لزاويتين متقابلتين بالرأس، ساوهما مباشرة.

مثال

إذا كانت زاويتان متقابلتان بالرأس:

و:

فإن:

١٢) المستقيمان المتوازيان والقاطع

عندما يقطع مستقيمٌ مستقيمين متوازيين، تظهر علاقات ثابتة بين الزوايا.

الزوايا المتناظرة: متساوية.

الزوايا المتبادلة داخليًا: متساوية.

الزوايا المتبادلة خارجيًا: متساوية.

الزوايا الداخلية على جهة واحدة من القاطع: مجموعها .

١٣) كيف أتعامل مع رسم المتوازيات بسرعة؟

إذا كانت إحدى الزوايا في شكل مكوّن من مستقيمين متوازيين وقاطع تساوي ، فستجد في الرسم:

مجموعة زوايا تساوي .

ومجموعة أخرى تساوي:

تكتيك مهم

في كثير من الرسومات القياسية للمستقيمات المتوازية والقاطع، يكفي إيجاد زاوية واحدة ثم يصبح باقي الرسم موزعًا بين قياسين فقط: زاوية حادة وزاوية منفرجة مكملة لها.

١٤) الزوايا المتناظرة

الزوايا المتناظرة تقع في الموضع نفسه عند تقاطع القاطع مع المستقيمين المتوازيين، ولذلك تكون متساوية.

مثال

إذا كانت زاوية متناظرة مع س تساوي :

١٥) الزوايا المتبادلة داخليًا

إذا كان مستقيمان متوازيين، فالزاويتان المتبادلتان داخليًا متساويتان.

مثال

إذا كانت إحداهما ، فالأخرى:

١٦) الزوايا الداخلية على جهة واحدة

الزاويتان الداخليتان على الجهة نفسها من القاطع متكاملتان.

مثال

إذا كانت إحداهما ، فالأخرى:

١٧) أكثر من مستقيمين متوازيين

إذا قطع قاطع عدة مستقيمات متوازية، فإن العلاقات نفسها تتكرر عند كل تقاطع.

أي زاوية تقع في الموضع المناظر نفسه للزاوية المعطاة تأخذ القياس نفسه، والزوايا المكملة لها تساوي:

فكرة سريعة

لا تحل كل تقاطع من البداية؛ انقل القياس نفسه بين المواضع المتناظرة ثم استخدم التكامل عند الحاجة.

١٨) مستقيمان متوازيان يقطعهما مستقيمان متوازيان

عندما يتقاطع زوجان من المستقيمات المتوازية، تتكرر الزوايا في الشكل كله.

جميع الزوايا الحادة في المواضع المتماثلة تكون متساوية، وجميع الزوايا المنفرجة تكون متساوية، وأي زاوية حادة مع زاوية منفرجة مجاورة لها مجموعهما:

مثال

إذا كانت إحدى الزوايا الحادة ، فإن الزوايا الحادة المناظرة لها تساوي ، والزوايا المنفرجة المرتبطة بها:

١٩) القاطع العمودي

إذا كان مستقيم عموديًا على عدة مستقيمات، فإنه يصنع مع كل واحد منها زوايا قائمة مقدارها:

وإذا كان مستقيمان مختلفان عموديين على المستقيم نفسه في المستوى، فهما متوازيان.

مثال

إذا كان:

و:

فإن:

٢٠) استخدام العلاقات بالعكس لإثبات التوازي

أحيانًا لا يخبرك السؤال أن المستقيمين متوازيان، لكن يعطيك علاقة زوايا تكفي لاستنتاج ذلك.

من العلامات المفيدة:

إذا تساوت زاويتان متناظرتان، يمكن استنتاج التوازي.

إذا تساوت زاويتان متبادلتان داخليًا، يمكن استنتاج التوازي.

إذا كان مجموع زاويتين داخليتين على جهة واحدة ، يمكن استنتاج التوازي.

٢١) عدد نقاط تقاطع القطع المستقيمة

في بعض الأسئلة المطلوب هو عد نقاط التقاطع الفعلية في الرسم، وليس افتراض أن كل قطعتين تتقاطعان.

انتبه إلى:

١. القطع المتوازية لا تتقاطع.

٢. القطعتان اللتان لا تصل إحداهما إلى الأخرى لا تُحسب لهما نقطة تقاطع.

٣. إذا التقت عدة قطع في النقطة نفسها، فهي نقطة واحدة وليست عدة نقاط.

مثال

كم نقطة التقاء بين أضلاع مربع؟

للمربع أربعة رؤوس، وكل رأس نقطة التقاء بين ضلعين، إذن العدد:

٢٢) لا تعتمد على شكل الرسم وحده

الرسم الهندسي قد لا يكون مرسومًا بالمقياس الحقيقي.

إذا بدا مستقيمان متوازيين أو زاويتان متساويتين بصريًا، فلا تعتمد على الشكل وحده ما لم توجد معلومة أو علامة هندسية تدعم ذلك.

قاعدة القدرات

العلاقة المعطاة أقوى من شكل الرسم.

٢٣) سلسلة زوايا مخفية

أحيانًا لا تصل إلى الزاوية المطلوبة في خطوة واحدة، بل تنتقل عبر أكثر من علاقة.

مثال

زاوية معطاة .

زاوية مقابلة لها بالرأس = .

زاوية مجاورة لها =:

ثم قد تنتقل هذه الزاوية إلى مستقيم موازٍ باعتبارها متناظرة أو متبادلة.

التكتيك

اكتب بجانب كل خطوة سببها: مقابلة، مستقيم، تناظر، تبادل. هذا يمنع القفز إلى علاقة خاطئة.

٢٤) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — على مستقيم

زاويتان على مستقيم، إحداهما . ما الأخرى؟

أ) ٤٢°
ب) ٩٠°
ج) ١١٢°
د) ١٣٢°

مثال ٢ — حول نقطة

زوايا حول نقطة هي . أوجد س.

أ) ١٠٠°
ب) ١٢٠°
ج) ١٤٠°
د) ١٦٠°

مثال ٣ — متقابلة بالرأس

إذا تقاطع مستقيمان وكانت إحدى الزوايا ، فما الزاوية المقابلة لها بالرأس؟

أ) ٣٨°
ب) ٧٦°
ج) ١٠٤°
د) ١٨٠°

مثال ٤ — مستقيمان متوازيان

مستقيمان متوازيان قطعهما قاطع. إذا كانت زاوية متناظرة مع س تساوي ، فما س؟

أ) ٢٣°
ب) ٦٧°
ج) ١١٣°
د) ١٨٠°

٢٥) سؤال قدرات بصيغة أذكى

زاويتان متقابلتان بالرأس قياساهما:

و:

فما قياس كل زاوية؟

أ) ٧٠°
ب) ٨٠°
ج) ٩٠°
د) ١٠٠°

٢٦) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: الخلط بين على مستقيم و حول نقطة.

الخطأ الثاني: اعتبار الزوايا المتجاورة متساوية لمجرد أنها متجاورة.

الخطأ الثالث: الخلط بين المتقابلة بالرأس والمجاورة؛ المتقابلة متساوية، والمجاورة على مستقيم متكاملة.

الخطأ الرابع: الخلط بين «متتامتان» و«متكاملتان».

الخطأ الخامس: اعتبار كل زوايا شكل المستقيمات المتوازية متساوية؛ توجد مجموعتان غالبًا: قياس وزاويته المكملة.

الخطأ السادس: استخدام علاقات المتوازيات دون أن يكون التوازي معطى أو مستنتجًا.

الخطأ السابع: الاعتماد على شكل الرسم بدل المعلومات المكتوبة عليه.

الخطأ الثامن: عند عد نقاط التقاطع، حساب تقاطع غير موجود لأن الخطوط لو امتدت نظريًا ستتقاطع.

الخطأ التاسع: حل كل زاوية في الرسم من الصفر بدل نقل القياسات المتساوية أولًا.

٢٧) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: خط مستقيم ← فكّر في ١٨٠° فورًا.

التكتيك الثاني: حول نقطة ← فكّر في ٣٦٠°.

التكتيك الثالث: تقاطع مستقيمين ← المقابلة متساوية والمجاورة مكملة.

التكتيك الرابع: متوازيات + قاطع ← ابحث أولًا عن المساواة، ثم استخدم ١٨٠° عند الحاجة.

التكتيك الخامس: إذا عرفت زاوية واحدة في رسم متوازيات قياسي، احسب مكملتها مرة واحدة فقط ثم وزّع القياسين على بقية الزوايا.

التكتيك السادس: إذا ظهرت تعبيرات فيها س، حدد العلاقة الهندسية أولًا ثم كوّن المعادلة؛ لا تبدأ بالجبر قبل معرفة سبب المساواة أو التكامل.

التكتيك السابع: في الرسومات المزدحمة، اتبع سلسلة قصيرة: زاوية معلومة ← مقابلة أو مجاورة ← متناظرة أو متبادلة.

التكتيك الثامن: إذا كان خطان عموديين على الخط نفسه، ففكر في التوازي.

التكتيك التاسع: عند عد نقاط التقاطع، عدّ النقاط الموجودة فعلًا لا أزواج الخطوط.

التكتيك العاشر: لا تثق في المظهر البصري للرسم إذا لم تؤيده معلومة.

٢٨) تدريب متدرج

سؤال ١ — زاويتان متتامتان

إحدى زاويتين متتامتين تساوي ٣٤°. فما الأخرى؟

أ) ٤٦°
ب) ٥٦°
ج) ١٤٦°
د) ١٥٦°

سؤال ٢ — زاويتان متكاملتان

إحدى زاويتين متكاملتين تساوي ١١٨°. فما الأخرى؟

أ) ٥٢°
ب) ٦٢°
ج) ٧٢°
د) ١١٨°

سؤال ٣ — حول نقطة

زوايا حول نقطة: ٩٠°، ١٢٠°، ٨٠°، س. أوجد س.

أ) ٦٠°
ب) ٧٠°
ج) ٨٠°
د) ٩٠°

سؤال ٤ — متقابلة بالرأس

إذا كانت زاوية ، فما قياس الزاوية المقابلة لها بالرأس؟

أ) ٧٥°
ب) ٩٠°
ج) ١٠٥°
د) ٢٥٥°

سؤال ٥ — مجاورة عند تقاطع

إذا كانت إحدى الزوايا عند تقاطع مستقيمين ، فما الزاوية المجاورة لها؟

أ) ٤٢°
ب) ٥٢°
ج) ٦٢°
د) ١٢٨°

سؤال ٦ — متغير على مستقيم

ثلاث زوايا على مستقيم هي:

فما س؟

أ) ٣٠°
ب) ٤٠°
ج) ٥٠°
د) ٦٠°

سؤال ٧ — متقابلتان بعبارات جبرية

زاويتان متقابلتان بالرأس قياساهما:

و:

فما س؟

أ) ٢٠
ب) ٢٥
ج) ٣٠
د) ٤٠

سؤال ٨ — متناظرتان

في مستقيمين متوازيين وقاطع، زاويتان متناظرتان إحداهما ٦٣°. فما الأخرى؟

أ) ٢٧°
ب) ٦٣°
ج) ١١٧°
د) ١٢٧°

سؤال ٩ — داخليتان على جهة واحدة

في مستقيمين متوازيين وقاطع، إحدى الزاويتين الداخليتين على جهة واحدة ١٢٢°. فما الأخرى؟

أ) ٤٨°
ب) ٥٨°
ج) ٦٨°
د) ١٢٢°

سؤال ١٠ — زاوية في شبكة متوازيات

إذا كانت إحدى الزوايا الحادة في شبكة من زوجين من المستقيمات المتوازية تساوي ٤٧°، فما قياس زاوية منفرجة مجاورة لها؟

أ) ٤٧°
ب) ٩٣°
ج) ١٣٣°
د) ١٤٧°

سؤال ١١ — عمودي ومتوازي

إذا كان المستقيمان ل١ ول٢ كلاهما عموديين على المستقيم ق في المستوى، فما العلاقة بين ل١ ول٢؟

أ) متعامدان
ب) متوازيان
ج) متقاطعان بزاوية ٤٥°
د) لا يمكن التحديد

سؤال ١٢ — نقاط التقاطع

كم نقطة التقاء بين أضلاع مربع؟

أ) ٢
ب) ٣
ج) ٤
د) ٦

سؤال ١٣ — سلسلة علاقات

زاوية مقدارها ٦٦°، والزاوية المطلوبة مجاورة للزاوية المقابلة لها بالرأس. فما قياس المطلوبة؟

أ) ٦٦°
ب) ٩٠°
ج) ١١٤°
د) ٢٩٤°

سؤال ١٤ — استنتاج التوازي

قاطع يقطع مستقيمين، ووجد أن زاويتين متناظرتين كل منهما ٧٢°. ماذا نستنتج؟

أ) المستقيمان متعامدان
ب) المستقيمان متوازيان
ج) الزاويتان متتامتان
د) لا توجد علاقة

٢٩) ملخص الدرس

ابدأ دائمًا بتحديد نوع العلاقة الهندسية قبل الحساب. الزوايا على مستقيم مجموعها ، والزوايا حول نقطة مجموعها ، والمتقابلة بالرأس متساوية، والمتتامتان مجموعهما ، والمتكاملتان مجموعهما .

مع المستقيمات المتوازية والقاطع، الزوايا المتناظرة والمتبادلة متساوية، والداخليتان على جهة واحدة متكاملتان. وغالبًا يكفي معرفة زاوية واحدة للحصول على بقية الزوايا باستخدام المساواة والتكامل.

في الرسومات المركبة لا تعتمد على المظهر وحده، ولا تحسب نقطة تقاطع إلا إذا كانت القطع تتقاطع فعليًا. وإذا كان مستقيمان عموديين على المستقيم نفسه في المستوى فهما متوازيان.