١) الفكرة الأساسية

المربع الكامل هو ناتج ضرب مقدار في نفسه.

فمثلًا:

وبالتوسيع:

إذن الناتج ليس مربع الحد الأول ومربع الحد الثاني فقط؛ بل يوجد حد أوسط مهم.

٢) متى أستخدم المربع الكامل؟

تظهر الفكرة في القدرات بعدة صور، وأهمها:

١. إعطاء حدين وطلب تربيع مجموعهما أو الفرق بينهما.

٢. إعطاء و وطلب .

٣. إعطاء و وطلب .

٤. إعطاء مقدار داخل قوس والمطلوب تربيعه.

٥. إعطاء تعبير ثلاثي الحدود والمطلوب تحليله إلى مربع كامل.

٦. المقارنة بين أو وبين .

٧. الحساب السريع لمربع عدد قريب من عدد سهل مثل ١٠٠.

٣) قانونا المربع الكامل

مربع مجموع حدين

احفظها بهذا الترتيب:

مربع الأول + ضعفا حاصل ضربهما + مربع الثاني.

مربع فرق حدين

احفظها بهذا الترتيب:

مربع الأول − ضعفا حاصل ضربهما + مربع الثاني.

ملاحظة مهمة

الحد الأخير موجب في الحالتين؛ لأن:

الذي يتغير هو إشارة الحد الأوسط.

٤) توسيع مربع مجموع أو فرق

مثال ١

وسّع:

نطبق القانون:

مثال ٢

وسّع:

٥) إذا احتوى القوس على معامل

نربّع الحد كاملًا، وليس المتغير وحده.

مثال:

مربع الحد الأول:

الحد الأوسط:

مربع الحد الثاني:

إذن:

مثال آخر

٦) كيف أعرف أن التعبير الثلاثي مربع كامل؟

إذا كان لديك تعبير من ثلاثة حدود، افحص ثلاثة أشياء:

١. الحد الأول مربع كامل.

٢. الحد الأخير مربع كامل.

٣. الحد الأوسط يساوي ضعفي حاصل ضرب جذري الحدين الأول والأخير، مع مراعاة الإشارة.

مثال موجب

حلّل:

الحد الأول:

والحد الأخير:

والحد الأوسط:

إذن:

مثال سالب

حلّل:

و:

وبما أن الحد الأوسط سالب:

٧) إيجاد مجموع المربعين من المجموع وحاصل الضرب

هذه من أهم صور المربع الكامل في القدرات.

من القانون:

نستنتج:

مثال مطابق للفكرة المطلوبة

إذا كان:

و:

فأوجد:

نربّع المجموع:

ثم:

إذن:

التكتيك

لا تحاول إيجاد س وص كلًّا على حدة. إذا كان المطلوب والمعلوم هو المجموع وحاصل الضرب، استخدم القانون مباشرة.

٨) إيجاد مجموع المربعين من الفرق وحاصل الضرب

من القانون:

نستنتج:

مثال

إذا كان:

و:

فأوجد:

٩) المقارنة باستخدام المربع الكامل

من التوسيع:

و:

إذا كان س وص موجبين

يكون ، ولذلك:

وكذلك:

مثال مقارنة

إذا كان س، ص عددين موجبين، قارن بين:

القيمة الأولى:
القيمة الثانية:

أ) القيمة الأولى أكبر
ب) القيمة الثانية أكبر
ج) القيمتان متساويتان
د) المعطيات غير كافية

إذا لم تُعرف الإشارات

لا تحفظ الحكم دون النظر إلى الشروط؛ لأن المقارنة تعتمد على إشارة .

إذا كان فمربع المجموع أكبر من مجموع المربعين، وإذا كان ينعكس الحكم، وإذا كان تتساوى القيمتان.

لذلك إذا لم تحدد المعطيات الإشارات أو حاصل الضرب، فقد تكون الإجابة المعطيات غير كافية.

١٠) الحساب السريع لمربع عدد

إذا كان العدد قريبًا من ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠، فاكتبه كمجموع أو فرق ثم استخدم المربع الكامل.

مثال ١

أوجد:

نكتب:

إذن:

مثال ٢

تكتيك سريع جدًا للعدد المنتهي بـ ٥

يمكن أيضًا تطبيق المربع الكامل ذهنيًا.

مثال:

١١) الفرق بين المربع الكامل والفرق بين مربعين

لا تخلط بين:

و:

الأول فرق بين مربعين:

أما الثاني فهو مربع كامل:

وجود الحد الأوسط هو المفتاح.

١٢) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١: توسيع

وسّع:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٢: مربع الفرق

وسّع:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٣: تحليل

حلّل:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٤: استخدام المجموع وحاصل الضرب

إذا كان:

و:

فما قيمة:

أ) ٣٤
ب) ٣٩
ج) ٤٤
د) ٤٩

١٣) سؤال قدرات بصيغة أذكى

إذا كان س، ص عددين موجبين، فقارن بين:

القيمة الأولى:
القيمة الثانية:

أ) القيمة الأولى أكبر
ب) القيمة الثانية أكبر
ج) القيمتان متساويتان
د) المعطيات غير كافية

١٤) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: نسيان الحد الأوسط.

لا يصح:

بل:

الخطأ الثاني: جعل الحد الأخير سالبًا في مربع الفرق.

الصحيح:

الخطأ الثالث: عدم تربيع المعامل كاملًا.

وليس .

الخطأ الرابع: اعتبار أي تعبير أوله وآخره مربعين مربعًا كاملًا.

لا بد أيضًا من فحص الحد الأوسط.

الخطأ الخامس: الخلط بين المربع الكامل والفرق بين مربعين.

الخطأ السادس: حفظ حكم المقارنة دون النظر إلى إشارة س وص.

الحكم يعتمد على إشارة حاصل الضرب .

الخطأ السابع: إيجاد س وص كلًا على حدة دون حاجة.

إذا كان المعطى و والمطلوب ، استخدم العلاقة مباشرة.

١٥) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: احفظ المربع الكامل كجملة: مربع الأول، ثم ضعفا حاصل الضرب، ثم مربع الثاني.

التكتيك الثاني: إشارة الحد الأوسط هي إشارة ما داخل القوس؛ أما الحد الأخير فموجب في الحالتين.

التكتيك الثالث: عند التحليل، افحص أولًا وآخرًا ثم اختبر الحد الأوسط. هذه أسرع طريقة للتأكد أن التعبير مربع كامل.

التكتيك الرابع: إذا أعطاك السؤال المجموع وحاصل الضرب فلا تبحث عن المتغيرين؛ استخدم:

التكتيك الخامس: إذا أعطاك الفرق وحاصل الضرب فاستخدم:

التكتيك السادس: في المقارنات لا توسّع الطرفين كاملين إذا كان الفرق بينهما واضحًا من الحد .

التكتيك السابع: لمربعات الأعداد القريبة من ١٠٠، اكتب العدد على صورة ثم طبق القانون.

التكتيك الثامن: إذا كانت الخيارات بعيدة عن بعضها، يمكن التقدير أولًا لاستبعاد الخيارات غير المنطقية، ثم استخدام القانون للحساب الدقيق.

١٦) تدريب متدرج

سؤال ١ — مباشر

وسّع:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٢ — مربع فرق

وسّع:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٣ — معامل داخل القوس

وسّع:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٤ — تحليل

حلّل:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٥ — المجموع وحاصل الضرب

إذا كان:

و:

فأوجد:

أ) ٤٠
ب) ٤٦
ج) ٥٢
د) ٦٤

سؤال ٦ — الفرق وحاصل الضرب

إذا كان:

و:

فأوجد:

أ) ٩
ب) ١٣
ج) ١٧
د) ٢٥

سؤال ٧ — مقارنة

إذا كان س، ص موجبين، قارن بين:

القيمة الأولى:
القيمة الثانية:

أ) القيمة الأولى أكبر
ب) القيمة الثانية أكبر
ج) القيمتان متساويتان
د) المعطيات غير كافية

سؤال ٨ — المعطيات غير كافية

قارن بين:

القيمة الأولى:
القيمة الثانية:

من دون أي معلومة عن س وص.

أ) القيمة الأولى أكبر
ب) القيمة الثانية أكبر
ج) القيمتان متساويتان
د) المعطيات غير كافية

سؤال ٩ — حساب سريع

أوجد:

أ) ٩٧٠١
ب) ٩٨٠١
ج) ٩٩٠١
د) ١٠٠٠١

١٧) ملخص الدرس

القانونان الأساسيان هما:

استخدمهما في التوسيع والتحليل والحساب السريع، وكذلك عندما يعطيك السؤال المجموع أو الفرق مع حاصل الضرب ويطلب مجموع المربعين.

وتذكّر أن المقارنة بين مربع المجموع أو مربع الفرق وبين مجموع المربعين تعتمد على الحد ؛ لذلك يجب الانتباه إلى إشارة س وص.

للحفظ: مربع الأول، ثم ضعفا حاصل الضرب، ثم مربع الثاني.