١) الفكرة الأساسية

المدى يقيس مقدار انتشار البيانات.
أي أنه يوضح الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في مجموعة الأعداد.

القانون:

المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة

مثال:

الأعداد: ٥, ٨, ١٢, ٣

أكبر قيمة:

١٢

أصغر قيمة:

٣

إذن المدى:

١٢ - ٣ = ٩

٢) متى أستخدم المدى؟

استخدم المدى عندما يطلب السؤال: المدى، الفرق بين أكبر وأصغر قيمة، مدى الدرجات، مدى الأعمار، مدى البيانات.

غالبًا تظهر الأسئلة بصيغة: أوجد المدى، ما مدى القيم، ما الفرق بين أعلى وأقل درجة؟

٣) طريقة الحل

اتبع ثلاث خطوات:

١. حدّد أكبر قيمة في البيانات.
٢. حدّد أصغر قيمة في البيانات.
٣. اطرح الأصغر من الأكبر.

مثال:

١١, ٤, ١٨, ٧, ٢٠

أكبر قيمة:

٢٠

أصغر قيمة:

٤

المدى:

٢٠ - ٤ = ١٦

٤) هل أحتاج لترتيب البيانات؟

ليس ضروريًا دائمًا، أحياناً يمكنك معرفة أكبر رقم وأصغر رقم بسهولة لكن الترتيب دائماً أضمن لك ويساعد إذا كانت الأعداد كثيرة.

مثال:

١٣, ٦, ٢٠, ٩, ١٥

بعد الترتيب:

٦, ٩, ١٣, ١٥, ٢٠

أصغر قيمة ٦، وأكبر قيمة ٢٠.

المدى:

٢٠ - ٦ = ١٤

٥) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١

أوجد مدى الأعداد:

٣, ٧, ١٠, ١٥

أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٥

مثال ٢

أوجد مدى الدرجات التالية:

٨٠, ٦٥, ٩٠, ٧٥, ٨٥

أ) ١٥
ب) ٢٠
ج) ٢٥
د) ٣٠

مثال ٣

أوجد مدى الأعداد:

١٢, ١٢, ١٢, ١٢

أ) ٠
ب) ١
ج) ١٢
د) ٤٨

مثال ٤

أوجد مدى الأعداد:

-٤, ٣, ٨, -١٠, ٦

أ) ١٠
ب) ١٢
ج) ١٨
د) ٢٠

٦) سؤال قدرات بصيغة أذكى

درجات خمسة طلاب هي:

٧٢, ٨٥, ٩٠, ٦٨, ٩٥

إذا زادت أعلى درجة بمقدار درجتين، فما المدى الجديد؟

أ) ٢٥
ب) ٢٧
ج) ٢٩
د) ٣١

٧) مثال مهم: تأثير القيمة المتطرفة

أوجد مدى البيانات:

٥, ٦, ٧, ٨, ٥٠

تأثير إضافة قيمة جديدة على المدى

تذكّر أن:

المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة

لذلك عند إضافة قيمة جديدة إلى البيانات توجد حالتان:

١) إذا كانت القيمة الجديدة بين أصغر وأكبر قيمة موجودتين:
لا يتغير المدى.

مثال:

البيانات:

٤، ٨، ١٢، ١٦

المدى:

١٦ − ٤ = ١٢

إذا أضفنا العدد ١٠، يبقى أكبر عدد ١٦ وأصغر عدد ٤.

إذن:

المدى لا يتغير = ١٢

٢) إذا كانت القيمة الجديدة خارج حدود البيانات:
يتغير المدى؛ لأنها تصبح إما أكبر قيمة أو أصغر قيمة.

مثال:

البيانات:

٤، ٨، ١٢، ١٦

المدى الأصلي:

١٦ − ٤ = ١٢

إذا أضفنا العدد ٢٠:

أكبر قيمة جديدة = ٢٠

إذن:

٢٠ − ٤ = ١٦

المدى الجديد = ١٦

مثال آخر

البيانات:

٦، ٩، ١١، ١٥

إذا أضيف العدد ٢، يصبح:

أصغر عدد = ٢
أكبر عدد = ١٥

المدى الجديد:

١٥ − ٢ = ١٣

تكتيك سريع

عند إضافة قيمة جديدة، لا تعِد حساب كل شيء.

اسأل نفسك فقط:

هل القيمة الجديدة تقع بين أصغر وأكبر قيمة؟

• نعم ← المدى لا يتغير

• لا ← اجعلها الحد الجديد واحسب المدى من جديد

انتبه

القيمة الجديدة قد تغيّر المتوسط الحسابي حتى لو لم تغيّر المدى.

مثال:

٤، ٨، ١٢، ١٦

إضافة ١٠ لا تغير المدى، لأنها تقع بين ٤ و١٦، لكنها تغير المتوسط الحسابي للمجموعة.

٨) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: جمع أكبر وأصغر قيمة بدل طرحهما.
الصحيح:

المدى = الأكبر − الأصغر

وليس الأكبر + الأصغر.

الخطأ الثاني: استخدام المتوسط بدل المدى.
المدى لا يحتاج إلى جمع كل القيم ولا قسمتها، فقط أكبر قيمة وأصغر قيمة.

الخطأ الثالث: تجاهل الأعداد السالبة.
في -٥, ٢, ٩، المدى:

٩ - (-٥) = ١٤

وليس ٩ - ٥ = ٤.

الخطأ الرابع: اختيار أكبر قيمة فقط.
إذا كان أكبر عدد ٢٠، فهذا لا يعني أن المدى ٢٠. يجب طرح أصغر قيمة منه.

٩) حيل سريعة

الحيلة الأولى: لا تهتم بكل الأعداد؛ ابحث فقط عن الأكبر والأصغر.

الحيلة الثانية: إذا كانت البيانات مرتبة، فالمدى = آخر قيمة − أول قيمة.

الحيلة الثالثة: إذا كانت كل القيم متساوية، فالمدى دائمًا ٠.

الحيلة الرابعة: عند وجود عدد سالب كأصغر قيمة، انتبه أن طرح السالب يصبح جمعًا.

مثال:

١٢ - (-٣) = ١٥

١٠) تدريب سريع

سؤال ١

أوجد المدى:

٤, ٩, ١١, ١٥

أ) ٩
ب) ١٠
ج) ١١
د) ١٥

سؤال ٢

أوجد مدى الدرجات:

٦٠, ٧٥, ٨٠, ٩٥, ٧٠

أ) ٢٥
ب) ٣٠
ج) ٣٥
د) ٤٠

سؤال ٣

أوجد المدى:

-٢, ٥, ١٠, -٦

أ) ٨
ب) ١٢
ج) ١٤
د) ١٦

سؤال ٤

إذا كانت البيانات:

٨, ٨, ٨, ٨

فما المدى؟

أ) ٠
ب) ١
ج) ٨
د) ٣٢

١١) ملخص الدرس

المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في البيانات. نحسبه بالقانون: المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة. لا يحتاج المدى إلى حساب كل القيم، بل فقط تحديد الطرفين. انتبه جيدًا عند وجود أعداد سالبة، لأن طرح السالب يزيد الناتج.