١) ما هو المخروط؟

المخروط مجسم ثلاثي الأبعاد له:

قاعدة دائرية واحدة.

رأس واحد.

سطح جانبي منحني.

ارتفاع عمودي من الرأس إلى مركز القاعدة.

٢) أهم عناصر المخروط

نحتاج غالبًا إلى ثلاثة أطوال:

نصف القطر ر: من مركز القاعدة إلى محيطها.

الارتفاع ع: من الرأس إلى مركز القاعدة عموديًا.

الراسم ل: الخط المائل من الرأس إلى حافة القاعدة.

٣) الفرق بين الارتفاع والراسم

الارتفاع ع يقع داخل المخروط ويكون عموديًا على القاعدة.

أما الراسم ل فهو خط مائل على سطح المخروط.

لا تستخدم الراسم بدل الارتفاع في قانون الحجم، ولا تستخدم الارتفاع بدل الراسم في قانون المساحة الجانبية.

٤) حجم المخروط

حجم المخروط يساوي ثلث مساحة القاعدة × الارتفاع.

ومساحة القاعدة الدائرية:

إذن:

٥) لماذا يوجد الثلث في قانون الحجم؟

إذا كان مخروط وأسطوانة لهما نصف القطر نفسه والارتفاع نفسه، فإن:

وبالتالي:

٦) مثال مباشر على الحجم

مخروط نصف قطره ٤ وارتفاعه ٩.

٧) إذا كان القطر معلومًا

قانون المخروط يستخدم نصف القطر، وليس القطر.

إذا كان القطر = ق:

مثال

قطر القاعدة = ١٢، والارتفاع = ٥.

٨) إيجاد الارتفاع من الحجم

من:

نحصل على:

مثال

حجم مخروط = ، ونصف قطره ٣.

٩) إيجاد نصف القطر من الحجم

إذا كان الحجم والارتفاع معلومين:

ثم:

مثال

حجم مخروط = ، وارتفاعه ٩.

١٠) العلاقة بين نصف القطر والارتفاع والراسم

في المخروط القائم، يشكل نصف القطر والارتفاع والراسم مثلثًا قائمًا.

لذلك:

١١) إيجاد الراسم بفيثاغورس

مثال

مخروط ارتفاعه ١٢ ونصف قطره ٥.

١٢) إيجاد الارتفاع من الراسم ونصف القطر

من فيثاغورس:

مثال

الراسم = ١٠، ونصف القطر = ٦.

١٣) إيجاد نصف القطر من الراسم والارتفاع

من العلاقة نفسها:

مثال

الراسم = ١٣، والارتفاع = ١٢.

١٤) المساحة الجانبية للمخروط

المساحة الجانبية هي مساحة السطح المنحني فقط دون القاعدة.

قانونها:

لاحظ أن القانون يستخدم الراسم ل، وليس الارتفاع ع.

١٥) مثال على المساحة الجانبية

مخروط نصف قطره ٣ وراسمه ٥.

١٦) مساحة السطح الكلية

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.

ويمكن كتابتها:

١٧) مثال على مساحة السطح الكلية

مخروط نصف قطره ٤ وراسمه ٧.

١٨) إذا أعطاك الارتفاع بدل الراسم في سؤال المساحة

لا تعوض الارتفاع مباشرة في قانون المساحة الجانبية.

أوجد الراسم أولًا باستخدام:

ثم استخدم:

مثال

نصف القطر ٣ والارتفاع ٤.

الراسم:

المساحة الجانبية:

١٩) مخروط مفتوح من القاعدة

إذا كان الشكل مجرد سطح مخروطي دون قاعدة، فالمطلوب عند حساب مادة التغليف هو المساحة الجانبية فقط:

مثل قبعة مخروطية أو غطاء مخروطي مفتوح.

٢٠) مخروط مغلق بقاعدة

إذا كان المخروط مغطى بالكامل مع القاعدة، نستخدم المساحة الكلية:

٢١) مقارنة مخروط بأسطوانة

إذا كان للمخروط والأسطوانة نصف القطر نفسه والارتفاع نفسه:

مثال

حجم أسطوانة = .

حجم المخروط الموافق:

٢٢) إذا كان حجم المخروط معلومًا فكم حجم الأسطوانة الموافقة؟

إذا كان لهما القاعدة والارتفاع نفسيهما:

مثال

حجم المخروط = ٤٠.

حجم الأسطوانة الموافقة = ١٢٠.

٢٣) أثر تغيير الارتفاع فقط

إذا بقي نصف القطر ثابتًا، فإن حجم المخروط يتناسب طرديًا مع الارتفاع.

إذا تضاعف الارتفاع، يتضاعف الحجم.

٢٤) أثر تغيير نصف القطر فقط على الحجم

الحجم يعتمد على مربع نصف القطر.

إذا تضاعف نصف القطر وبقي الارتفاع ثابتًا:

فيصبح الحجم أربعة أمثال.

٢٥) تكبير المخروط كله

إذا ضُربت جميع الأطوال، ومنها نصف القطر والارتفاع والراسم، في العدد ك:

مساحات السطح تتغير بعامل:

والحجم يتغير بعامل:

مثال

إذا تضاعفت جميع أبعاد المخروط، تصبح مساحة سطحه ٤ أمثال وحجمه ٨ أمثال.

٢٦) نسبة حجمي مخروطين متشابهين

إذا كانت نسبة الأطوال المناظرة:

فنسبة الحجمين:

مثال

نسبة الأطوال = .

نسبة الحجمين:

٢٧) نسبة مساحتي سطح مخروطين متشابهين

إذا كانت نسبة الأطوال المناظرة:

فنسبة مساحتي السطح:

٢٨) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — الحجم

مخروط نصف قطره ٣ وارتفاعه ٦. ما حجمه؟

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٢ — الراسم

مخروط ارتفاعه ١٢ ونصف قطره ٥. ما راسمه؟

أ) ١٠
ب) ١١
ج) ١٣
د) ١٧

مثال ٣ — المساحة الجانبية

مخروط نصف قطره ٦ وراسمه ١٠. ما مساحته الجانبية؟

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٤ — المساحة الكلية

مخروط نصف قطره ٤ وراسمه ٧. ما مساحة سطحه الكلية؟

أ)
ب)
ج)
د)

٢٩) سؤال قدرات بصيغة أذكى

مخروط نصف قطره ٥ وراسمه ١٣. ما حجمه؟

أ)
ب)
ج)
د)

٣٠) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: نسيان القسمة على ٣ في قانون الحجم.

الخطأ الثاني: استخدام القطر مباشرة بدل نصف القطر.

الخطأ الثالث: الخلط بين الارتفاع والراسم.

الخطأ الرابع: استخدام الارتفاع في قانون المساحة الجانبية بدل الراسم.

الخطأ الخامس: استخدام الراسم في قانون الحجم بدل الارتفاع.

الخطأ السادس: الخلط بين مساحة السطح الجانبية والكلية؛ الكلية تشمل القاعدة.

الخطأ السابع: نسيان أن المخروط يساوي ثلث حجم الأسطوانة ذات القاعدة والارتفاع نفسيهما.

٣١) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: حجم مخروط ← .

التكتيك الثاني: نفس قاعدة وارتفاع أسطوانة ← حجم المخروط = ثلث حجمها.

التكتيك الثالث: قطر معلوم ← اقسمه على ٢ قبل التعويض.

التكتيك الرابع: مساحة جانبية ← .

التكتيك الخامس: مساحة كلية ← .

التكتيك السادس: أعطاك ر وع وطلب المساحة ← أوجد ل بفيثاغورس أولًا.

التكتيك السابع: أعطاك ر ول وطلب الحجم ← أوجد ع بفيثاغورس أولًا.

التكتيك الثامن: تكبير جميع الأطوال بعامل ك ← المساحة بعامل والحجم بعامل .

٣٢) تدريب متدرج

سؤال ١

مخروط نصف قطره ٢ وارتفاعه ٩. ما حجمه؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٢

مخروط نصف قطره ٥ وارتفاعه ٦. ما حجمه؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٣

مخروط قطر قاعدته ١٤ وارتفاعه ٣. ما حجمه؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٤

مخروط حجمه ونصف قطره ٤. ما ارتفاعه؟

أ) ٣
ب) ٦
ج) ٩
د) ١٢

سؤال ٥

مخروط حجمه وارتفاعه ١٢. ما نصف قطره؟

أ) ٣
ب) ٤
ج) ٥
د) ١٠

سؤال ٦

مخروط ارتفاعه ٨ ونصف قطره ٦. ما راسمه؟

أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٤

سؤال ٧

مخروط راسمه ١٣ ونصف قطره ٥. ما ارتفاعه؟

أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٨

سؤال ٨

مخروط نصف قطره ٦ وراسمه ١٠. ما مساحته الجانبية؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٩

مخروط نصف قطره ٣ وراسمه ٥. ما مساحة سطحه الكلية؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٠

مخروط وأسطوانة لهما نصف القطر والارتفاع نفسيهما. إذا كان حجم الأسطوانة ، فما حجم المخروط؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١١

إذا تضاعف ارتفاع مخروط وبقي نصف قطره ثابتًا، فكم يصبح حجمه؟

أ) يبقى نفسه
ب) مثليه
ج) ٤ أمثاله
د) ٨ أمثاله

سؤال ١٢

إذا تضاعف نصف قطر مخروط وبقي ارتفاعه ثابتًا، فكم يصبح حجمه؟

أ) مثليه
ب) ٣ أمثاله
ج) ٤ أمثاله
د) ٨ أمثاله

سؤال ١٣

إذا تضاعفت جميع أبعاد مخروط، فكم يصبح حجمه؟

أ) مثليه
ب) ٤ أمثاله
ج) ٦ أمثاله
د) ٨ أمثاله

سؤال ١٤

مخروطان متشابهان نسبة أطوالهما المناظرة ٢:٣. ما نسبة حجميهما؟

أ) ٢:٣
ب) ٤:٩
ج) ٨:٢٧
د) ١٦:٨١

٣٣) ملخص الدرس

المخروط له قاعدة دائرية ورأس واحد.

أهم القوانين:

في الحجم نستخدم الارتفاع العمودي ع، وفي المساحة الجانبية نستخدم الراسم ل. وإذا كان القطر معلومًا، نحوله إلى نصف قطر أولًا.

وإذا كان للمخروط والأسطوانة القاعدة والارتفاع نفسيهما، فحجم المخروط يساوي ثلث حجم الأسطوانة.