١) لماذا هذه المثلثات مهمة؟

في معظم المثلثات القائمة نحتاج إلى فيثاغورس لإيجاد ضلع مجهول.

لكن في مثلثين خاصين تتكرر نسب ثابتة بين الأضلاع، ولذلك نستطيع غالبًا الوصول إلى الإجابة مباشرة:

مثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°.

مثلث ٤٥°–٤٥°–٩٠°.

٢) كيف أتعرف على المثلث الخاص؟

إذا كان المثلث قائمًا وظهرت زاوية أو ، فهو من نوع ٣٠°–٦٠°–٩٠°.

إذا كان المثلث قائمًا وظهرت زاوية ، فإن الزاوية الحادة الأخرى أيضًا ٤٥°، فيكون من نوع ٤٥°–٤٥°–٩٠°.

٣) مثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°

نسبة الأضلاع فيه ثابتة:

وترتيبها يكون بحسب الزوايا المقابلة:

المقابل لـ٣٠°: .

المقابل لـ٦٠°: .

المقابل لـ٩٠°، وهو الوتر: .

٤) احفظ ترتيب الأضلاع لا الأرقام فقط

في مثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°:

أصغر ضلع يقابل ٣٠°.

الضلع المتوسط يقابل ٦٠°.

أكبر ضلع هو الوتر ويقابل ٩٠°.

وهذا يتفق مع القاعدة العامة: كلما كبرت الزاوية، كبر الضلع المقابل لها.

٥) المقابل لـ٣٠° يساوي نصف الوتر

بما أن النسبة بين الضلع الصغير والوتر هي:

فإن:

مثال

وتر المثلث = ١٨.

إذن المقابل لـ٣٠°:

٦) الوتر يساوي ضعف المقابل لـ٣٠°

إذا كان الضلع المقابل لـ٣٠° معلومًا:

مثال

المقابل لـ٣٠° = ٧.

إذن الوتر:

٧) المقابل لـ٦٠° من الضلع الصغير

إذا كان المقابل لـ٣٠° = س، فإن المقابل لـ٦٠°:

مثال

المقابل لـ٣٠° = ٥.

إذن المقابل لـ٦٠°:

٨) المقابل لـ٦٠° من الوتر مباشرة

لأن المقابل لـ٣٠° يساوي نصف الوتر:

مثال

الوتر = ٢٠.

إذن:

٩) إذا عرفت المقابل لـ٦٠°

إذا كان:

فإن س هو طول المقابل لـ٣٠°، والوتر = .

مثال

المقابل لـ٦٠° = .

إذن المقابل لـ٣٠° = ١٢، والوتر:

١٠) إذا كان المقابل لـ٦٠° عددًا بلا جذر

يمكن قسمة الضلع الطويل على لإيجاد الضلع الصغير.

مثال

المقابل لـ٦٠° = ٦.

إذن المقابل لـ٣٠°:

والوتر:

١١) مثلث ٤٥°–٤٥°–٩٠°

هذا مثلث قائم متساوي الساقين.

نسبة أضلاعه:

أي إذا كان كل ضلع من ضلعي القائمة = س، فإن الوتر:

١٢) لماذا ضلعا القائمة متساويان؟

الزاويتان الحادتان كل منهما .

والزوايا المتساوية تقابل أضلاعًا متساوية، لذلك ضلعا القائمة متساويان.

١٣) إيجاد الوتر في ٤٥°–٤٥°–٩٠°

إذا كان ضلع القائمة = س:

مثال

ضلع القائمة = ٦.

إذن الوتر:

١٤) إيجاد ضلع القائمة من الوتر

إذا كان الوتر معلومًا:

مثال

الوتر = .

إذن كل ضلع قائم = ١٠.

١٥) إذا كان الوتر عددًا صحيحًا

مثال

الوتر = ١٢.

ضلع القائمة:

١٦) متى أستخدم النسبة ومتى أستخدم فيثاغورس؟

إذا كان المثلث من نوع ٣٠°–٦٠°–٩٠° أو ٤٥°–٤٥°–٩٠°، فالنسبة غالبًا أسرع.

فيثاغورس ما زال صحيحًا، لكنه قد يحتاج خطوات أطول.

مثال

في ٤٥°–٤٥°–٩٠° إذا كان ضلع القائمة ٨:

بالنسبة مباشرة:

ولا حاجة إلى كتابة:

١٧) كيف تتكون نسبة ٤٥°–٤٥°–٩٠°؟

إذا كان ضلعا القائمة كلاهما س، فمن فيثاغورس:

إذن:

وهكذا تظهر النسبة:

١٨) كيف تتكون نسبة ٣٠°–٦٠°–٩٠°؟

إذا قسمنا مثلثًا متساوي الأضلاع برسم ارتفاع من أحد الرؤوس، نحصل على مثلثين قائمين من نوع ٣٠°–٦٠°–٩٠°.

إذا كان ضلع المثلث المتساوي الأضلاع = ، فإن نصف القاعدة = س، والوتر = .

وباستخدام فيثاغورس يكون الارتفاع:

فتظهر النسبة:

١٩) الربط مع المثلث متساوي الأضلاع

ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين من نوع ٣٠°–٦٠°–٩٠°.

لذلك إذا كان طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع = س، فإن ارتفاعه:

مثال

ضلع مثلث متساوي الأضلاع = ١٠.

ارتفاعه:

٢٠) الربط مع المربع

قطر المربع يقسمه إلى مثلثين قائمين من نوع ٤٥°–٤٥°–٩٠°.

لذلك إذا كان ضلع المربع = س، فإن قطره:

تفاصيل خصائص المربع ستأتي في وحدته المخصصة.

٢١) المقارنة بين الضلعين في ٣٠°–٦٠°–٩٠°

المقابل لـ٦٠° أطول من المقابل لـ٣٠° لأن ٦٠° أكبر من ٣٠°.

وبالأرقام:

لذلك:

عندما يكون س طولًا موجبًا.

٢٢) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — الوتر من المقابل لـ٣٠°

في مثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°، المقابل لـ٣٠° = ٧. ما الوتر؟

أ) ٧
ب)
ج) ١٤
د)

مثال ٢ — المقابل لـ٦٠°

في مثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°، المقابل لـ٣٠° = ٥. ما المقابل لـ٦٠°؟

أ) ٥
ب)
ج)
د) ١٠

مثال ٣ — وتر ٤٥°–٤٥°–٩٠°

ضلع القائمة = ٦. ما الوتر؟

أ) ٦
ب)
ج) ١٢
د)

مثال ٤ — ضلع القائمة من الوتر

وتر مثلث ٤٥°–٤٥°–٩٠° = . فما كل ضلع قائم؟

أ) ٧
ب) ١٤
ج) ٢٨
د)

٢٣) سؤال قدرات بصيغة أذكى

مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ١٢. رُسم ارتفاع من أحد رؤوسه. فما طول الارتفاع؟

أ) ٦
ب)
ج)
د)

٢٤) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: حفظ النسبة دون ربط كل ضلع بالزاوية المقابلة له.

الخطأ الثاني: عكس و بين النوعين.

الخطأ الثالث: اعتبار المقابل لـ٦٠° هو الوتر. الوتر دائمًا يقابل ٩٠°.

الخطأ الرابع: اعتبار المقابل لـ٣٠° مساويًا للوتر؛ الصحيح أنه نصفه.

الخطأ الخامس: في ٤٥°–٤٥°–٩٠° اعتبار الوتر ضعف ضلع القائمة؛ الصحيح أنه مرة ضلع القائمة.

الخطأ السادس: عند إعطاء الوتر كعدد صحيح في ٤٥°–٤٥°–٩٠°، نسيان القسمة على .

الخطأ السابع: استخدام النسب الخاصة في مثلث غير قائم أو لا يملك الزوايا المطلوبة.

٢٥) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: ٣٠°–٦٠°–٩٠° ← احفظ: صغير س، متوسط ، وتر .

التكتيك الثاني: المقابل لـ٣٠° = نصف الوتر مباشرة.

التكتيك الثالث: المقابل لـ٦٠° = المقابل لـ٣٠° × .

التكتيك الرابع: ٤٥°–٤٥°–٩٠° ← ضلعا القائمة متساويان والوتر = أحدهما × .

التكتيك الخامس: قائم + متساوي الساقين ← ٤٥°–٤٥°–٩٠° فورًا.

التكتيك السادس: ارتفاع متساوي الأضلاع ← غالبًا ابحث عن ٣٠°–٦٠°–٩٠°.

التكتيك السابع: قطر مربع ← غالبًا ابحث عن ٤٥°–٤٥°–٩٠°.

٢٦) تدريب متدرج

سؤال ١

في مثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°، المقابل لـ٣٠° = ٤. فما الوتر؟

أ) ٤
ب)
ج) ٨
د)

سؤال ٢

في مثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°، الوتر = ٢٠. فما المقابل لـ٣٠°؟

أ) ٥
ب) ١٠
ج)
د) ٢٠

سؤال ٣

في مثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°، الوتر = ٢٠. فما المقابل لـ٦٠°؟

أ) ١٠
ب)
ج)
د) ٢٠

سؤال ٤

المقابل لـ٦٠° في مثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠° يساوي . فما الوتر؟

أ) ٨
ب) ١٢
ج) ١٦
د)

سؤال ٥

المقابل لـ٦٠° = ٩ في مثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°. فما المقابل لـ٣٠°؟

أ)
ب)
ج) ٦
د)

سؤال ٦

في مثلث ٤٥°–٤٥°–٩٠°، ضلع القائمة = ٩. فما الوتر؟

أ) ٩
ب)
ج) ١٨
د)

سؤال ٧

في مثلث ٤٥°–٤٥°–٩٠°، الوتر = . فما ضلع القائمة؟

أ) ٨
ب) ١٦
ج) ٣٢
د)

سؤال ٨

في مثلث ٤٥°–٤٥°–٩٠°، الوتر = ١٠. فما ضلع القائمة؟

أ) ٥
ب)
ج)
د) ٢٠

سؤال ٩

مثلث قائم متساوي الساقين، طول أحد ضلعي القائمة ٧. فما الوتر؟

أ) ٧
ب)
ج) ١٤
د)

سؤال ١٠

مثلث متساوي الأضلاع ضلعه ٨. فما ارتفاعه؟

أ) ٤
ب)
ج)
د)

سؤال ١١

في مثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°، أي ضلع هو الأطول؟

أ) المقابل لـ٣٠°
ب) المقابل لـ٦٠°
ج) المقابل لـ٩٠°
د) المقابل لـ٣٠° والمقابل لـ٦٠° متساويان

سؤال ١٢

إذا كان المقابل لـ٣٠° = س، فأي تعبير يمثل مجموع الأضلاع الثلاثة في مثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٣

إذا كان ضلع القائمة في مثلث ٤٥°–٤٥°–٩٠° = س، فما محيط المثلث؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٤

مثلث قائم فيه زاوية ٣٠°، والضلع المقابل لها ٦. ما طول الضلع المقابل لـ٦٠°؟

أ) ٦
ب)
ج)
د) ١٢

٢٧) ملخص الدرس

في مثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°، إذا كان المقابل لـ٣٠° = س، فإن المقابل لـ٦٠° = والوتر = . لذلك المقابل لـ٣٠° يساوي نصف الوتر.

في مثلث ٤٥°–٤٥°–٩٠°، ضلعا القائمة متساويان، وإذا كان كل منهما س فإن الوتر = .

ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع يولّد مثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°، وقطر المربع يولّد مثلث ٤٥°–٤٥°–٩٠°. استخدام هذه العلاقات مباشرة أسرع غالبًا من إعادة تطبيق فيثاغورس في كل سؤال.