١) الفكرة الأساسية

المتوسط الحسابي، ويُسمى أحيانًا الوسط الحسابي، هو قيمة تمثل مركز مجموعة من البيانات.

القانون:

مثال

الأعداد:

المجموع:

عدد القيم = ٤.

إذن:

٢) العلاقة الأساسية التي تحل معظم الأسئلة

من قانون المتوسط نحصل مباشرة على:

هذه العلاقة هي مفتاح أسئلة العدد الناقص، والإضافة والحذف، ودمج مجموعتين، والمتوسط المتبقي.

مثال

متوسط ٥ أعداد يساوي ١٢.

إذن مجموعها:

٣) التسلسل الذهني الأفضل

عند رؤية سؤال متوسط، اسأل نفسك:

١. هل المطلوب متوسط مباشر؟ ← اجمع واقسم.

٢. هل المتوسط معلوم؟ ← حوّله إلى مجموع.

٣. هل هناك قيمة مضافة أو محذوفة؟ ← قارن المجموع قبل وبعد.

٤. هل هناك مجموعتان؟ ← حوّل متوسط كل مجموعة إلى مجموع.

٥. هل القيم متتابعة حسابية؟ ← استخدم الأول والأخير.

٤) إيجاد العدد الناقص

إذا كان المتوسط معلومًا وفي المجموعة عدد مجهول:

أولًا: أوجد المجموع المطلوب.

ثانيًا: اطرح مجموع القيم المعروفة.

مثال

متوسط:

يساوي ٩.

المجموع المطلوب:

مجموع القيم المعروفة:

إذن:

٥) مجموع الجزء المتبقي

إذا عرفت مجموع الكل ومجموع جزء منه:

ثم إذا طُلب متوسط الجزء المتبقي:

٦) تغير المتوسط عندما يتغير المجموع فقط

إذا بقي عدد القيم ثابتًا وتغير مجموعها، فإن:

مثال — زيادة

متوسط ٥ أعداد = ١٠، ثم زاد مجموعها بمقدار ١٥ دون أن يتغير عددها.

زيادة المتوسط:

المتوسط الجديد:

مثال — نقصان

متوسط ٨ أعداد = ٢٠، ثم نقص مجموعها بمقدار ٢٤.

المتوسط الجديد:

٧) إذا تغيرت قيمة واحدة فقط

إذا بقي عدد القيم نفسه وتغيرت قيمة واحدة بمقدار معين، فإن مجموع القيم يتغير بالمقدار نفسه.

مثال

متوسط ٦ قيم هو ٢٠. اكتُشف أن إحدى القيم يجب أن تزيد ١٢.

إذن المتوسط يزيد:

المتوسط الجديد:

٨) انتبه: الإضافة أو الحذف تغير عدد القيم

إذا أُضيف عنصر جديد أو حُذف عنصر، فلا تستخدم قاعدة «تغير المتوسط = تغير المجموع ÷ العدد القديم» مباشرة.

السبب أن عدد القيم نفسه تغير.

الحل الآمن:

متوسط ← مجموع ← أضف أو اطرح ← اقسم على العدد الجديد.

٩) إيجاد القيمة المضافة

إذا عرفت المجموع قبل الإضافة وبعدها:

مثال مباشر

كان مجموع ٥ قيم = ٤٠، وبعد إضافة قيمة أصبح المجموع = ٥٢.

مثال باستخدام المتوسط

متوسط ٦ أعداد = ١٤، وبعد إضافة عدد أصبح متوسط الأعداد السبعة = ١٦.

المجموع القديم:

المجموع الجديد:

القيمة المضافة:

١٠) إيجاد القيمة المحذوفة

إذا عرفت المجموع قبل الحذف وبعده:

مثال

متوسط ٥ أعداد = ٢٠. حُذف أحدها، فأصبح متوسط الأربعة الباقين = ١٨.

المجموع القديم:

المجموع الجديد:

القيمة المحذوفة:

١١) المتوسط بعد إضافة قيمة معلومة

إذا أضيفت قيمة معلومة، احسب المجموع القديم ثم أضف القيمة الجديدة واقسم على العدد الجديد.

مثال

متوسط أعمار ٤ أشخاص = ٢٠ سنة، وانضم شخص عمره ٢٥ سنة.

المجموع القديم:

المجموع الجديد:

المتوسط الجديد:

١٢) المتوسط بعد حذف قيمة معلومة

متوسط ٦ أعداد = ١٥، وحُذف عدد قيمته ٣٠.

المجموع الأصلي:

المجموع بعد الحذف:

عدد القيم الباقية = ٥.

المتوسط الجديد:

١٣) المتوسط الحسابي للمتتابعة الحسابية

إذا كانت القيم تشكل متتابعة حسابية، أي أن الفرق بين كل حدين متتاليين ثابت، فإن:

مثال

الفرق ثابت = ٤.

إذن:

١٤) إذا كان عدد حدود المتتابعة فرديًا

في المتتابعة الحسابية ذات العدد الفردي من الحدود، المتوسط يساوي الحد الأوسط.

مثال

الحد الأوسط = ١٥.

والمتوسط أيضًا:

١٥) لا تستخدم قاعدة الأول والأخير مع أي أعداد مرتبة

الشرط هو أن تكون القيم متتابعة حسابية بفرق ثابت.

مثال

الفروق:

ليست ثابتة، لذلك لا يصح أخذ متوسط الأول والأخير بهذه الطريقة.

١٦) متوسط مجموعتين

إذا كانت لدينا مجموعتان مختلفتان في عدد العناصر، لا نأخذ متوسط المتوسطين مباشرة.

نحوّل كل متوسط إلى مجموع، ثم نجمع المجموعين.

مثال

متوسط ٤ طلاب = ١٠، ومتوسط ٦ طلاب = ٥.

مجموع الأولى:

مجموع الثانية:

المجموع الكلي:

العدد الكلي:

المتوسط:

١٧) متى يمكن أخذ متوسط المتوسطين مباشرة؟

يمكن ذلك إذا كان عدد العناصر في المجموعتين متساويًا.

مثال

مجموعة أولى عددها ٥ ومتوسطها ١٢، ومجموعة ثانية عددها ٥ ومتوسطها ١٨.

بما أن العددين متساويان:

انتبه

إذا اختلف عدد العناصر، يصبح هذا الاختصار خاطئًا.

١٨) إيجاد متوسط الجزء المتبقي

إذا عرفت متوسط المجموعة كلها ومتوسط جزء منها:

١. حوّل المتوسط الكلي إلى مجموع.

٢. حوّل متوسط الجزء المعروف إلى مجموع.

٣. اطرح المجموعين.

٤. اقسم على عدد العناصر المتبقية.

مثال

متوسط درجات ١٠ طلاب = ٨٠، ومتوسط ٤ منهم = ٧٠. ما متوسط الستة الباقين؟

مجموع الكل:

مجموع الأربعة:

مجموع الباقين:

متوسط الستة:

١٩) إذا زادت كل القيم بالمقدار نفسه

إذا أضفنا المقدار نفسه إلى كل قيمة، يزيد المتوسط بالمقدار نفسه.

مثال

متوسط مجموعة = ١٤. إذا أضفنا ٣ إلى كل قيمة، يصبح المتوسط:

وبالمثل، إذا طرحنا ٣ من كل قيمة، ينقص المتوسط ٣.

٢٠) هل يجب أن يكون المتوسط أحد القيم؟

لا. قد يقع المتوسط بين القيم ولا يساوي أيًا منها.

مثال

المتوسط:

والعدد ٢٫٥ ليس من القيم الأصلية.

٢١) موقع المتوسط بين القيم

إذا كانت البيانات أعدادًا حقيقية، فإن المتوسط يقع بين أصغر قيمة وأكبر قيمة.

لذلك إذا وجدت متوسطًا أصغر من جميع القيم أو أكبر من جميعها، فهناك خطأ في الحساب.

٢٢) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — مباشر

أوجد متوسط:

أ) ٧
ب) ٨
ج) ٩
د) ١٠

مثال ٢ — من المتوسط إلى المجموع

متوسط ٣ اختبارات = ٨٠. ما مجموع الدرجات؟

أ) ١٦٠
ب) ٢٠٠
ج) ٢٤٠
د) ٢٨٠

مثال ٣ — قيمة ناقصة

متوسط:

يساوي ١٣. فما س؟

أ) ١٢
ب) ١٤
ج) ١٦
د) ١٨

٢٣) سؤال قدرات بصيغة أذكى

متوسط ٨ طلاب = ٧٥، ومتوسط ٢ منهم = ٦٥. فما متوسط الستة الباقين؟

أ) ٧٥
ب) ٧٧
ج) ٧٨٫٣
د) ٨٠

٢٤) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: نسيان القسمة على عدد القيم.

الخطأ الثاني: استخدام عدد خاطئ للقيم.

الخطأ الثالث: عند إضافة أو حذف قيمة، استخدام العدد القديم بدل العدد الجديد.

الخطأ الرابع: أخذ متوسط متوسطين مباشرة رغم اختلاف حجم المجموعتين.

الخطأ الخامس: استخدام قاعدة الأول والأخير مع أعداد ليست متتابعة حسابية.

الخطأ السادس: عند إيجاد متوسط الجزء المتبقي، طرح المتوسطات بدل طرح المجموعات.

الخطأ السابع: الاعتقاد أن المتوسط يجب أن يكون إحدى القيم الأصلية.

الخطأ الثامن: الخلط بين تغير المجموع مع ثبات العدد، والإضافة أو الحذف التي تغير عدد القيم.

٢٥) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: إذا أعطاك المتوسط والعدد، حوّل فورًا إلى مجموع.

التكتيك الثاني: في العدد الناقص: المجموع المطلوب − المجموع المعروف.

التكتيك الثالث: إذا تغير المجموع فقط والعدد ثابت، اقسم مقدار التغير على عدد القيم.

التكتيك الرابع: إذا أضيف أو حُذف عنصر: متوسط ← مجموع ← تعديل المجموع ← متوسط جديد.

التكتيك الخامس: إذا كانت القيم متتابعة حسابية، استخدم الأول والأخير.

التكتيك السادس: عند دمج مجموعتين، لا تتعامل مع المتوسطات مباشرة؛ حوّلها إلى مجموعات.

التكتيك السابع: إذا كان حجما المجموعتين متساويين فقط، يمكنك أخذ متوسط المتوسطين مباشرة.

التكتيك الثامن: للجزء المتبقي: مجموع الكل − مجموع الجزء المعروف، ثم اقسم على عدد الباقين.

التكتيك التاسع: تحقق منطقيًا أن المتوسط يقع بين أصغر قيمة وأكبر قيمة.

٢٦) تدريب متدرج

سؤال ١

ما متوسط:

أ) ٧
ب) ٨
ج) ٩
د) ١٠

سؤال ٢

متوسط ٧ أعداد = ١٢. ما مجموعها؟

أ) ٧٢
ب) ٨٤
ج) ٩٦
د) ١٠٨

سؤال ٣

متوسط ٥، ٧، ٩، س = ٨. فما س؟

أ) ٩
ب) ١٠
ج) ١١
د) ١٢

سؤال ٤

متوسط ٦ قيم = ١٥. زاد مجموعها ١٨ دون تغير عددها. ما المتوسط الجديد؟

أ) ١٦
ب) ١٧
ج) ١٨
د) ٢١

سؤال ٥

متوسط ٥ قيم = ٢٠. أضيفت قيمة ٣٢. ما متوسط القيم الست؟

أ) ٢٠
ب) ٢١
ج) ٢٢
د) ٢٤

سؤال ٦

متوسط ٨ قيم = ١٢. حُذفت قيمة ٢٦. ما متوسط القيم السبع الباقية؟

أ) ٩
ب) ١٠
ج) ١١
د) ١٢

سؤال ٧

متوسط ٥ أعداد = ١٤. بعد إضافة عدد أصبح متوسط الستة = ١٦. فما العدد المضاف؟

أ) ٢٠
ب) ٢٤
ج) ٢٦
د) ٣٠

سؤال ٨

متوسط ٦ أعداد = ١٨. بعد حذف عدد أصبح متوسط الخمسة = ١٦. فما العدد المحذوف؟

أ) ٢٤
ب) ٢٦
ج) ٢٨
د) ٣٠

سؤال ٩

ما متوسط المتتابعة:

أ) ١٢
ب) ١٤
ج) ١٦
د) ١٨

سؤال ١٠

مجموعة عددها ٤ ومتوسطها ١٠، ومجموعة عددها ٦ ومتوسطها ٢٠. ما متوسط الجميع؟

أ) ١٤
ب) ١٥
ج) ١٦
د) ١٨

سؤال ١١

مجموعتان متساويتان في عدد العناصر، متوسط الأولى ١٢ ومتوسط الثانية ٢٠. فما متوسطهما معًا؟

أ) ١٤
ب) ١٦
ج) ١٨
د) ٣٢

سؤال ١٢

متوسط ١٠ طلاب = ٧٠، ومتوسط ٤ منهم = ٦٠. فما متوسط الستة الباقين؟

أ) ٧٠
ب) ٧٤
ج) ٧٦٫٧
د) ٨٠

سؤال ١٣

متوسط مجموعة = ٢٢. إذا أضيف ٥ إلى كل قيمة، فما المتوسط الجديد؟

أ) ٢٢
ب) ٢٥
ج) ٢٧
د) لا يمكن التحديد

سؤال ١٤

أي القيم التالية يمكن أن تكون متوسطًا للأعداد ١٠، ١٤، ١٨؟

أ) ٨
ب) ١٢
ج) ١٤
د) ٢٠

٢٧) ملخص الدرس

المتوسط الحسابي = مجموع القيم ÷ عددها، والمجموع = المتوسط × عدد القيم.

إذا بقي عدد القيم ثابتًا وتغير المجموع، فإن تغير المتوسط يساوي تغير المجموع ÷ عدد القيم. أما عند إضافة أو حذف عنصر، فيجب إعادة حساب المجموع وعدد القيم الجديد.

في المتتابعة الحسابية، المتوسط = متوسط الحد الأول والأخير. وعند دمج مجموعتين مختلفتين في العدد، حوّل كل متوسط إلى مجموع أولًا. ولإيجاد متوسط الجزء المتبقي، اطرح مجموع الجزء المعروف من مجموع الكل ثم اقسم على عدد الباقين.