١) الفكرة الأساسية

قد تبدو بعض المتتابعات بلا نمط إذا نظرنا إلى كل حد والذي بعده مباشرة، لكن السبب أحيانًا أن السؤال يدمج متتابعتين مختلفتين بالتناوب.

عادةً:

المسار الأول: الحدود ذات الترتيب الفردي: الأول، الثالث، الخامس، السابع...

المسار الثاني: الحدود ذات الترتيب الزوجي: الثاني، الرابع، السادس، الثامن...

مثال

الفردية:

تزيد ٣.

الزوجية:

تنقص ٢.

٢) متى أشك أن هناك متتابعتين متداخلتين؟

فكّر في الفصل إلى فردي وزوجي عندما:

١. لا تجد فرقًا ثابتًا بين كل حد والذي بعده.

٢. لا تجد نسبة ثابتة واضحة.

٣. تلاحظ أن كل حدين متباعدين بخانة واحدة يشبهان بعضهما في النمط.

٤. ترى قيمًا كبيرة وصغيرة تتناوب بطريقة لافتة.

٥. يبدو أن بعض الحدود تزيد بينما الحدود الواقعة بينها تتناقص.

٣) الخطوة الأهم: رقّم الحدود

قبل الفصل، رقّم الحدود ذهنيًا:

ثم اجمع:

الفردية: ١، ٣، ٥، ٧...

الزوجية: ٢، ٤، ٦، ٨...

لماذا هذا مهم؟

لأنك قد تكتشف النمطين بشكل صحيح ثم تخطئ فقط لأنك أكملت المسار الزوجي بينما المطلوب الحد الفردي، أو العكس.

٤) مساران حسابيان

قد تكون المتتابعتان كلتاهما حسابيتين، لكن لكل واحدة فرق مختلف.

مثال

الفردية:

الفرق = ٤، فالتالي في هذا المسار ١٦.

الزوجية:

الفرق = -٥، فالتالي في هذا المسار ٣٥.

٥) مسار حسابي ومسار هندسي

ليس شرطًا أن يكون المساران من النوع نفسه.

مثال

الفردية:

حسابية بفرق ٣.

الزوجية:

هندسية بنسبة ٢.

بعد الحد الثامن يأتي الحد التاسع، أي نكمل المسار الفردي:

٦) مساران هندسيان

قد يكون كلا المسارين هندسيًا بنسبتين مختلفتين.

مثال

الفردية:

النسبة = ٢.

الزوجية:

النسبة = ٣.

الحد السابع من المسار الفردي:

٧) إيجاد عدد مفقود في أحد المسارين

حدد أولًا هل المكان الفارغ فردي أم زوجي، ثم تجاهل المسار الآخر مؤقتًا.

مثال

الفردية:

الزوجية:

تنقص ٥، إذن:

٨) حدد مسار الحد المطلوب قبل الحساب

إذا كان آخر حد ظاهر هو الحد السادس، فالحد التالي هو السابع، أي من المسار الفردي.

وإذا كان آخر حد ظاهر هو السابع، فالحد التالي هو الثامن، أي من المسار الزوجي.

مثال

آخر حد ظاهر هو السابع، إذن المطلوب الحد الثامن من المسار الزوجي:

فالجواب ٢٤.

٩) ترتيب فحص الأنماط

١. افحص الفرق بين الحدود.

٢. إذا لم يظهر نمط، افحص النسبة.

٣. افحص الفروق الثانية بين الفروق.

٤. افحص وجود تناوب بين عمليتين.

ونضيف بعد ذلك عمليًا في أسئلة القدرات:

٥. جرّب فصل الحدود الفردية والزوجية إذا كان ذلك مناسبًا.

٦. افحص هل كل حد يعتمد على حدين قبله.

٧. إذا كانت كسورًا، افحص البسط والمقام كلًا على حدة.

١٠) لا تخلط بين المتتابعتين المتداخلتين والتناوب بين عمليتين

هناك فرق بين:

متتابعتين متداخلتين: كل موضع فردي يتبع مسارًا، وكل موضع زوجي يتبع مسارًا آخر.

تناوب العمليات: نطبق عمليتين بالتناوب على المتتابعة كلها.

مثال على تناوب العمليات

النمط:

إذن الحد التالي:

١١) مثال: نمط بالتناوب

المتتابعة:

لا تحتاج إلى فصلها إلى فردي وزوجي؛ العلاقة المباشرة نفسها تتناوب:

ثم .

بعد ١٠ يأتي تطبيق -١:

تكتيك

إذا وجدت عمليتين تتكرران بالتناوب بوضوح، فهذا تفسير أبسط من اختراع مسارين منفصلين.

١٢) نمط يعتمد على الحدين السابقين

يعتمد على فرق أو نسبة أو فصل فردي/زوجي، بل يكون كل حد ناتجًا من الحدين السابقين.

مثال

كل حد = مجموع الحدين السابقين:

إذن التالي:

١٣) الفروق الثانية

إذا لم تكن الفروق الأولى ثابتة، قد يكون التغير في الفروق نفسها ثابتًا.

مثال

الفروق الأولى:

الفروق الثانية ثابتة وتساوي ٢، لذلك الفرق التالي:

والحد التالي:

متى أستخدمها؟

بعد أن تتأكد أن الفرق الأول غير ثابت ولا توجد نسبة ثابتة واضحة.

١٤) أنماط الكسور

في متتابعات الكسور، لا تنظر إلى الكسر كله دفعة واحدة. افصل نمط البسط عن نمط المقام.

مثال

البسط:

المقام:

إذن الحد التالي:

١٥) قد يختلف نمط البسط عن المقام

ليس شرطًا أن يتحرك البسط والمقام بالطريقة نفسها.

مثال

البسط يزيد ١:

والمقام يتضاعف:

إذن التالي:

١٦) لا تفصل الفردي والزوجي بسرعة أكثر من اللازم

الفصل أداة قوية، لكنه ليس أول خطوة دائمًا.

مثال

هناك فرق ثابت = ٤، إذن هي متتابعة حسابية مباشرة. فصلها إلى مسارين سيعقّد سؤالًا بسيطًا.

قاعدة

ابدأ بالأبسط: فرق ← نسبة ← ثم الأنماط المركبة.

١٧) امتداد الفكرة: ثلاثة مسارات متداخلة

أحيانًا يكون النمط المتكرر كل ثلاثة حدود بدل كل حدين.

مثال

المواضع ١، ٤، ٧:

المواضع ٢، ٥، ٨:

المواضع ٣، ٦، ٩:

إذن:

تكتيك

إذا لم ينجح الفصل فردي/زوجي ولاحظت تكرارًا كل ثلاث خانات، جرّب ثلاثة مسارات.

١٨) المساران قد يتحركان في اتجاهين متعاكسين

من الأنماط الشائعة أن يزيد أحد المسارين بينما ينقص الآخر.

مثال

الفردية تزيد ٥:

والزوجية تنقص ١٠:

١٩) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — مساران حسابيان

ما الحد التالي؟

أ) ٨
ب) ١٢
ج) ١٨
د) ٢١

مثال ٢ — عدد مفقود

أ) ١٠
ب) ١٥
ج) ٢٠
د) ٢٥

مثال ٣ — حسابي وهندسي

ما الحد التالي؟

أ) ١٢
ب) ١٦
ج) ٣٥
د) ٣٠

مثال ٤ — تناوب عمليات

ما الحد التالي؟

أ) ٦٨
ب) ٧٠
ج) ١٣٨
د) ٢٠٧

٢٠) سؤال قدرات بصيغة أذكى

ما العدد الذي يحل محل المربع؟

أ) ٢٤
ب) ٣٦
ج) ٥٤
د) ٦٠

٢١) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: الإصرار على وجود علاقة واحدة بين كل حد والذي بعده.

الخطأ الثاني: الفصل إلى فردي وزوجي قبل اختبار الفرق أو النسبة البسيطة.

الخطأ الثالث: اكتشاف المسارين ثم إكمال المسار الخطأ.

الخطأ الرابع: افتراض أن المسارين يجب أن يكونا من النوع نفسه.

الخطأ الخامس: الخلط بين مسارين متداخلين وبين عمليتين متناوبتين.

الخطأ السادس: تجاهل الفروق الثانية عندما تكون الفروق الأولى غير ثابتة.

الخطأ السابع: في متتابعات الكسور، محاولة تحليل الكسر كله بدل فصل البسط عن المقام.

الخطأ الثامن: التوقف بعد اكتشاف جزء من النمط دون التأكد أنه يفسر جميع الحدود.

الخطأ التاسع: عدم التفكير في ثلاثة مسارات عندما يتكرر النمط كل ثلاث خانات.

٢٢) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: استخدم الترتيب: الفرق ← النسبة ← الفروق الثانية ← التناوب.

التكتيك الثاني: إذا بقي النمط غير واضح، افصل الفردي والزوجي فورًا.

التكتيك الثالث: رقّم الحدود قبل أن تحسب حتى تعرف أي مسار مطلوب.

التكتيك الرابع: افحص كل مسار وحده: جمع؟ طرح؟ ضرب؟ قسمة؟

التكتيك الخامس: لا تفترض أن المسارين متشابهان؛ قد يكون أحدهما حسابيًا والآخر هندسيًا.

التكتيك السادس: إذا وجدت عمليتين تتكرران بالتناوب، استخدمهما مباشرة بدل الفصل إن كان ذلك أبسط.

التكتيك السابع: إذا كانت الفروق: ٣، ٥، ٧، ٩ مثلًا، افحص فرق الفروق قبل البحث عن نمط أعقد.

التكتيك الثامن: في الكسور، اكتب ذهنيًا سطرًا للبسط وسطرًا للمقام.

التكتيك التاسع: إذا كان كل حد يعتمد على الحدين السابقين، ركز على العلاقة بين ثلاثة حدود متتالية.

التكتيك العاشر: بعد إيجاد الإجابة، أعد وضعها داخل السلسلة وتأكد أن النمط يظل صحيحًا كله.

٢٣) تدريب متدرج

سؤال ١ — مساران حسابيان

ما الحد التالي؟

أ) ١٢
ب) ١٥
ج) ١٨
د) ٢٠

سؤال ٢ — عدد مفقود

أ) ٥
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٠

سؤال ٣ — أحد المسارين هندسي

ما الحد التالي؟

أ) ٦
ب) ٨
ج) ٢٥
د) ٢٠

سؤال ٤ — المطلوب من المسار الزوجي

ما الحد التالي؟

أ) ١٨
ب) ٢٠
ج) ٢٤
د) ٢٨

سؤال ٥ — تناوب عمليتين

ما الحد التالي؟

أ) ٤١
ب) ٤٣
ج) ٨٤
د) ١٢٦

سؤال ٦ — يعتمد على حدين

ما الحد التالي؟

أ) ٢٩
ب) ٣٢
ج) ٣٤
د) ٤٢

سؤال ٧ — الفروق الثانية

ما الحد التالي؟

أ) ٣٠
ب) ٣٦
ج) ٤٠
د) ٤٩

سؤال ٨ — كسر

ما الحد التالي؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٩ — بسط ومقام بنمطين مختلفين

ما الحد التالي؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٠ — ثلاثة مسارات

ما العدد الناقص؟

أ) ٤٠٠
ب) ٥٠٠
ج) ٨٠
د) ٣٢٠

سؤال ١١ — لا تنخدع بالفصل

ما الحد التالي؟

أ) ٣٠
ب) ٣١
ج) ٣٢
د) ٣٤

سؤال ١٢ — مساران باتجاهين متعاكسين

ما الحد التالي؟

أ) ٢٠
ب) ٢٥
ج) ٣٠
د) ٣٥

سؤال ١٣ — نمط مركب

ما الحد التالي؟

أ) ٤
ب) ٥
ج) ٤٨
د) ٢٢

٢٤) ملخص الدرس

عندما لا يظهر نمط مباشر، لا تفترض أن المتتابعة عشوائية. ابدأ بالفرق، ثم النسبة، ثم الفروق الثانية والتناوب. وإذا بقي النمط غامضًا، افصل الحدود الفردية عن الزوجية.

في المتتابعتين المتداخلتين، كل مسار مستقل وقد يكون حسابيًا أو هندسيًا أو يسير في اتجاه مختلف. والأهم هو تحديد هل الحد المطلوب فردي أم زوجي قبل إكمال النمط.

ولا تخلط هذه الفكرة مع الأنماط الأخرى: أحيانًا تتناوب عمليتان على سلسلة واحدة، وأحيانًا يعتمد الحد على الحدين السابقين، وفي الكسور يجب فحص البسط والمقام كلًا على حدة. وإذا تكرر النمط كل ثلاث خانات، فقد توجد ثلاثة مسارات بدل مسارين.