١) الفكرة الأساسية

في المتتابعة الهندسية لا نبحث عن فرق ثابت، بل عن نسبة ثابتة بين كل حد والذي قبله.

مثال

نحسب:

إذن النسبة المشتركة:

٢) كيف أتعرف على المتتابعة الهندسية؟

قسّم كل حد على الحد الذي قبله. إذا ظهرت النسبة نفسها في كل مرة، فالمتتابعة هندسية.

مثال متزايد

مثال متناقص

٣) العلاقة مع استراتيجية الأنماط

تظهر استراتيجية عامة للأنماط: افحص الفرق أولًا، وإذا لم يظهر نمط ثابت فافحص النسبة بين الحدود.

هذه هي أسرع طريقة للتمييز بين المتتابعة الحسابية والهندسية:

فرق ثابت ← حسابية.

نسبة ثابتة ← هندسية.

مثال

الفروق ليست ثابتة:

لكن النسب ثابتة:

إذن المتتابعة هندسية.

٤) النسبة المشتركة

يمكن إيجاد النسبة من حدين متتاليين:

مثال

انتبه

لا تستخدم الطرح لإيجاد النسبة. القاعدة هنا هي القسمة.

٥) إيجاد الحد التالي

إذا كان المطلوب الحد التالي فقط، اضرب آخر حد في النسبة المشتركة.

مثال

النسبة = ٣، إذن:

٦) المتتابعة التي تتناقص بالقسمة

قد تكون النسبة كسرًا بين صفر و١.

مثال

كل حد نصف الذي قبله:

إذن الحد التالي:

٧) قانون الحد النوني

لإيجاد حد بعيد نستخدم:

حيث:

أ₁: الحد الأول.

ر: النسبة المشتركة.

ن: رقم الحد المطلوب.

لماذا الأس ن - ١؟

لأن الحد الأول لم نضرب قبله في النسبة، والحد الثاني يحتاج ضربة واحدة، والثالث ضربتين، وهكذا.

٨) تطبيق مباشر على قانون الحد النوني

أوجد الحد السادس في:

لدينا:

إذن:

٩) إيجاد حد مفقود

إذا كانت النسبة واضحة، نكمل بالضرب أو القسمة.

مثال

النسبة:

إذن الحد المفقود:

١٠) إيجاد رقم الحد

إذا عرفت قيمة حد وطلب السؤال ترتيبه، استخدم قانون الحد النوني واجعل ن مجهولًا.

مثال

في المتتابعة:

أي حد يساوي ٤٨٦؟

نقسم على ٢:

ونعلم أن:

إذن:

١١) إيجاد الحد الأول إذا عُرف حد آخر

نستخدم القانون نفسه ونجعل الحد الأول مجهولًا.

مثال

إذا كان الحد الرابع يساوي ٥٤ والنسبة ٣، فما الحد الأول؟

إذن:

١٢) إيجاد النسبة من حدين غير متتاليين

إذا كان لدينا حدان غير متتاليين، فإن عدد مرات الضرب في ر يساوي الفرق بين رقمي الحدين.

مثال

إذا كان:

و:

فمن الحد الثاني إلى الخامس توجد ثلاث خطوات:

إذن:

قاعدة مختصرة

١٣) الحد الأوسط في ثلاثة حدود هندسية

إذا كانت أ، ب، ج ثلاثة حدود متتالية في متتابعة هندسية، فإن:

مثال

إذا كانت:

ثلاثة حدود هندسية موجبة، فإن:

وبما أن الحد موجب:

تكتيك

عندما تكون ثلاثة حدود هندسية متتالية وموجبة، لا تحتاج إلى إيجاد النسبة أولًا؛ استخدم خاصية الحد الأوسط مباشرة.

١٤) النسبة السالبة وتناوب الإشارات

قد تكون النسبة المشتركة سالبة، فتتناوب إشارات الحدود.

مثال

النسبة:

إذن الحد التالي:

انتبه

تجاهل الإشارات قد يجعلك تظن أن النسبة ٣ بدل -٣.

١٥) النسبة بين صفر و١

إذا كان:

وكان الحد الأول موجبًا، فإن الحدود الموجبة تصغر تدريجيًا.

مثال

١٦) المتتابعة الثابتة

إذا كانت النسبة:

تبقى جميع الحدود كما هي.

مثال

١٧) التضاعف والتنصيف

في أسئلة القدرات قد تُعرض المتتابعة بالكلمات بدل الأرقام.

التضاعف

إذا كان كل حد ضعف السابق:

التنصيف

إذا كان كل حد نصف السابق:

مثال حياتي

بدأ عدد ما بـ ٥، ويتضاعف في كل مرحلة. القيم هي:

١٨) استخدام القوى المشهورة

المتتابعات الهندسية مرتبطة مباشرة بالأسس، ولذلك حفظ القوى المشهورة يجعل حلها أسرع.

مثال

في:

الحد السابع:

وبما أن:

يمكن الوصول للناتج بسرعة إذا احتاج السؤال القيمة العددية.

١٩) الفرق بين المتتابعة الحسابية والهندسية

الحسابية: الفرق بين الحدود ثابت.

الهندسية: النسبة بين الحدود ثابتة.

الترتيب الأفضل للاكتشاف

١. افحص الفرق.

٢. إذا لم يثبت، افحص النسبة.

٣. إذا لم يثبت أي منهما، فقد يكون النمط من نوع آخر مثل الفروق الثانية أو التناوب، وسنعالجه في وحدات الأنماط المناسبة.

٢٠) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — الحد التالي

ما الحد التالي؟

أ) ٢٤
ب) ٢٨
ج) ٣٢
د) ٣٦

مثال ٢ — النسبة

ما النسبة المشتركة؟

أ) ٢
ب) ٣
ج) ٥
د) ١٠

مثال ٣ — حد بعيد

أوجد الحد الخامس في:

أ) ١٠٨
ب) ١٦٢
ج) ٢١٦
د) ٣٢٤

مثال ٤ — تناقص

ما الحد التالي؟

أ) ٨
ب) ٦
ج) ٤
د) ٣

٢١) سؤال قدرات بصيغة أذكى

إذا كانت:

ثلاثة حدود متتالية في متتابعة هندسية موجبة، فما قيمة س؟

أ) ١٨
ب) ٢٧
ج) ٣٦
د) ٤٥

٢٢) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: الخلط بين المتتابعة الحسابية والهندسية.

الخطأ الثاني: طرح حدين لإيجاد النسبة بدل قسمتهما.

الخطأ الثالث: استخدام الجمع بدل الضرب لإيجاد الحد التالي.

الخطأ الرابع: نسيان أن قانون الحد النوني يستخدم في الأس.

الخطأ الخامس: افتراض أن النسبة يجب أن تكون أكبر من ١؛ يمكن أن تكون كسرًا أو سالبة.

الخطأ السادس: تجاهل الإشارات عند وجود نسبة سالبة.

الخطأ السابع: عند معرفة حدين غير متتاليين، قسمة الحدين مباشرة والاعتقاد أن الناتج هو ر؛ الناتج هو قوة من ر حسب عدد الخطوات.

الخطأ الثامن: استخدام الجذر الموجب والسالب معًا في سؤال يصرح بأن الحدود موجبة؛ عندها نأخذ الموجب فقط.

٢٣) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: افحص الفرق أولًا، ثم النسبة.

التكتيك الثاني: إذا كان المطلوب الحد التالي فقط، اضرب ولا تستخدم قانون الحد النوني.

التكتيك الثالث: إذا كانت الأعداد تتضاعف ففكر في ، وإذا تتنصف ففكر في .

التكتيك الرابع: للحد البعيد استخدم .

التكتيك الخامس: لإيجاد رقم الحد، حاول تحويل القيمة إلى قوة مشهورة من ر.

التكتيك السادس: بين حدين غير متتاليين، عدّ عدد خطوات الضرب؛ لا تنظر فقط إلى نسبة القيمتين.

التكتيك السابع: لثلاثة حدود هندسية متتالية استخدم إذا كان ذلك أسرع.

التكتيك الثامن: إذا تناوبت الإشارات، افحص احتمال أن تكون النسبة سالبة.

التكتيك التاسع: اربط المتتابعات الهندسية بقوانين الأسس والقوى المشهورة؛ هذا يوفر وقتًا كبيرًا.

٢٤) تدريب متدرج

سؤال ١ — الحد التالي

ما الحد التالي؟

أ) ٨٤
ب) ٩٨
ج) ١١٢
د) ١٢٠

سؤال ٢ — النسبة المشتركة

ما النسبة المشتركة؟

أ) ٤
ب) ٥
ج) ١٠
د) ٢٠

سؤال ٣ — حد بعيد

أوجد الحد السادس في:

أ) ٤٨
ب) ٦٤
ج) ٩٦
د) ١٩٢

سؤال ٤ — تناقص كسري

ما الحد التالي؟

أ)
ب)
ج)
د) ٠

سؤال ٥ — نسبة سالبة

ما الحد التالي؟

أ) -٤٨
ب) ٤٨
ج) -٣٦
د) ٣٦

سؤال ٦ — رقم الحد

في المتتابعة:

أي حد يساوي ٣٢٠؟

أ) الخامس
ب) السادس
ج) السابع
د) الثامن

سؤال ٧ — الحد الأول

إذا كان الحد الخامس يساوي ١٦٢ والنسبة ٣، فما الحد الأول؟

أ) ١
ب) ٢
ج) ٣
د) ٦

سؤال ٨ — حدان غير متتاليين

إذا كان:

و:

فما النسبة المشتركة الموجبة؟

أ) ٢
ب) ٣
ج) ٤
د) ٦

سؤال ٩ — الحد الأوسط

إذا كانت:

ثلاثة حدود متتالية في متتابعة هندسية موجبة، فما س؟

أ) ٢٧
ب) ٣٢
ج) ٣٦
د) ٤٨

سؤال ١٠ — تحديد النوع

أي المتتابعات التالية هندسية؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١١ — متتابعة ثابتة

ما النسبة المشتركة في:

أ) ٠
ب) ١
ج) ٩
د) لا توجد نسبة

سؤال ١٢ — اختبار فرق أم نسبة

ما نوع المتتابعة:

أ) حسابية بفرق ١٦
ب) حسابية بفرق ٤٨
ج) هندسية بنسبة ٣
د) هندسية بنسبة ٨

٢٥) ملخص الدرس

المتتابعة الهندسية تتميز بنسبة ثابتة بين كل حد والذي قبله. لإيجاد الحد التالي نضرب في النسبة، ولإيجاد حد بعيد نستخدم:

قد تكون النسبة أكبر من ١، أو كسرًا بين صفر و١، أو سالبة فتتناوب الإشارات. وإذا عرفت حدين غير متتاليين فتذكر أن نسبة القيمتين تمثل قوة من ر، لا ر مباشرة.

ومن أهم اختصارات القدرات: افحص الفرق أولًا ثم النسبة، استخدم القوى المشهورة لإيجاد رقم الحد بسرعة، ولثلاثة حدود هندسية متتالية يمكن استخدام .