١) ما المتتابعة الدورية؟

هي متتابعة تتكرر فيها مجموعة ثابتة من الحدود بالترتيب نفسه.

مثال

٢، ٤، ٦، ٢، ٤، ٦، ٢، ٤، ٦، ...

الدورة هي:

٢، ٤، ٦.

وطول الدورة:

٢) أهم خطوة: حدّد أصغر دورة كاملة

لا تأخذ جزءًا أطول من اللازم.

مثال

أ، ب، أ، ب، أ، ب، ...

الدورة ليست «أ، ب، أ، ب» بطول ٤.

أصغر دورة هي:

أ، ب.

وطولها = ٢.

كلما صغر طول الدورة الصحيحة، أصبح الحل أسرع وأدق.

٣) القاعدة الذهبية للحد رقم ن

إذا كان طول الدورة د، ونريد الحد رقم ن، نقسم ن على د وننظر إلى الباقي.

إذا كان الباقي ١ ← العنصر الأول.

إذا كان الباقي ٢ ← العنصر الثاني.

وهكذا.

إذا كان الباقي ٠ ← العنصر الأخير في الدورة.

٤) لماذا نستخدم الباقي؟

لأن كل دورة كاملة تعيدنا إلى الموضع نفسه داخل النمط.

مثال

الدورة: أ، ب، ج، د.

الحدود ١، ٥، ٩، ١٣... كلها أ.

والحدود ٢، ٦، ١٠، ١٤... كلها ب.

إذن الدورات الكاملة لا تغيّر موضعنا داخل الدورة؛ الذي يحدد الموضع هو الباقي.

٥) الحالة الأهم: الباقي صفر

إذا كان رقم الحد من مضاعفات طول الدورة، فالباقي صفر.

في هذه الحالة نأخذ آخر عنصر في الدورة، وليس الأول.

مثال

أ، ب، ج، د، أ، ب، ج، د، ...

ما الحد رقم ٢٤؟

الباقي = ٠، إذن نأخذ العنصر الرابع:

د.

٦) مثال مباشر على باقي غير صفري

٥، ٧، ٩، ٥، ٧، ٩، ...

ما الحد رقم ٣٢؟

الباقي = ٢.

إذن الحد المطلوب هو العنصر الثاني في الدورة:

٧.

٧) طريقة الجدول السريع

إذا كانت الدورة قصيرة، اربط الباقي مباشرة بالعنصر.

مثال

الدورة: أحمر، أزرق، أخضر.

الباقي ١ ← أحمر.

الباقي ٢ ← أزرق.

الباقي ٠ ← أخضر.

بهذا لا تحتاج إلى كتابة المتتابعة حتى الحد المطلوب.

٨) الألوان والأشكال والحروف

الفكرة لا تعتمد على أن الحدود أعداد.

يمكن أن تكون:

ألوانًا.

حروفًا.

أشكالًا.

اتجاهات.

مثال

مثلث، مربع، دائرة، مثلث، مربع، دائرة، ...

ما الشكل رقم ٥٠؟

إذن الشكل الثاني في الدورة:

مربع.

٩) الفرق بين «الحد رقم ن» و«بعد ن خطوات»

هذه من أكثر نقاط الخطأ أهمية.

«الحد رقم ن» يبدأ العد من الحد الأول نفسه.

أما «بعد ن خطوات» فالوضع الحالي هو نقطة البداية، والخطوة الأولى تنقلنا إلى العنصر التالي.

مثال

الدورة: أ، ب، ج.

الحد رقم ٤ = أ.

لكن إذا كنت الآن عند أ وتحركت ٤ خطوات:

١: ب.

٢: ج.

٣: أ.

٤: ب.

إذن النتيجة = ب.

١٠) تطبيق على أيام الأسبوع

أيام الأسبوع دورة طولها ٧.

في صيغة «بعد ن أيام» لا نحسب يوم البداية ضمن الأيام التي نتحركها.

مثال

إذا كان اليوم الأربعاء، فما اليوم بعد ٨٠ يومًا؟

نتحرك ٣ أيام بعد الأربعاء:

الخميس، الجمعة، السبت.

إذن اليوم = السبت.

١١) كلمة «قبل»

عند قول «قبل ن أيام» نتحرك إلى الخلف ن خطوات.

مثال

إذا كان اليوم الخميس، فما اليوم قبل ١٠ أيام؟

نتحرك ٣ أيام إلى الخلف:

الأربعاء، الثلاثاء، الإثنين.

إذن اليوم = الإثنين.

١٢) إذا قال «تبدأ من» أو «تنتهي عند»

اقرأ الصياغة بدقة؛ فقد يكون اليوم المذكور جزءًا من الفترة نفسها.

القاعدة العملية:

«بعد» ← ابدأ الحركة من العنصر التالي.

«قبل» ← ابدأ الحركة من العنصر السابق.

«الحد رقم» ← العنصر الأول هو الحد ١.

ولا تطبق قاعدة واحدة على كل الصياغات دون قراءة.

١٣) الساعات أيضًا دورية

في نظام ٢٤ ساعة تتكرر الساعة بعد كل ٢٤ ساعة.

وفي قرص الساعة ذي ١٢ رقمًا يتكرر الرقم بعد كل ١٢ ساعة.

مثال

على ساعة ١٢ ساعة، إذا كانت الساعة ٥، فما الرقم بعد ٣١ ساعة؟

نضيف ٧ إلى ٥:

إذن تصل إلى ١٢.

١٤) الأعداد العشرية الدورية

قد تكون الدورة في الأرقام بعد الفاصلة العشرية.

مثال

٠٫٣٧٣٧٣٧٣٧...

الدورة:

٣، ٧.

وطولها = ٢.

ما الرقم في الخانة رقم ٢٥ بعد الفاصلة؟

الباقي ١، إذن الرقم = ٣.

١٥) دورة أطول في عدد عشري

في العدد:

٠٫١٤٢٨٥٧١٤٢٨٥٧...

الدورة:

١، ٤، ٢، ٨، ٥، ٧.

طولها = ٦.

الخانة رقم ١٠٠:

إذن نأخذ العنصر الرابع:

٨.

١٦) إذا سبق الدورة جزء غير متكرر

أحيانًا لا يبدأ التكرار من أول حد.

عندها لا تستخدم رقم الحد مباشرة على طول الدورة.

احذف عدد الحدود غير الدورية أولًا، ثم طبّق قاعدة الباقي على الجزء الدوري.

مثال

٩، ٧، ٢، ٤، ٦، ٢، ٤، ٦، ...

الحدان ٩ و٧ غير دوريين.

ثم تبدأ الدورة:

٢، ٤، ٦.

ما الحد رقم ٢٠؟

موضعه داخل الجزء الدوري:

الباقي صفر، إذن نأخذ آخر عنصر:

٦.

١٧) مجموع أول ن حدًا

إذا طلب مجموع أول ن حدًا من متتابعة دورية:

احسب مجموع دورة واحدة.

احسب عدد الدورات الكاملة.

أضف مجموع عناصر الباقي من بداية الدورة.

مثال

٢، ٤، ٦، ٢، ٤، ٦، ...

ما مجموع أول ٢٠ حدًا؟

مجموع الدورة:

مجموع ٦ دورات:

الباقي أول عنصرين:

المجموع:

١٨) إذا كان الباقي صفرًا في مسألة المجموع

إذا كان عدد الحدود من مضاعفات طول الدورة، فلا توجد حدود إضافية بعد الدورات الكاملة.

مثال

٢، ٤، ٨، ٢، ٤، ٨، ...

مجموع أول ١٢ حدًا:

١٩) عدد مرات ظهور عنصر معين

احسب عدد مرات ظهوره في دورة واحدة، ثم عدد الدورات الكاملة، ثم افحص الجزء المتبقي.

مثال

أ، ب، ج، أ، ب، ج، ...

كم مرة يظهر ب في أول ٢٠ حدًا؟

في ٦ دورات يظهر ب ٦ مرات.

الباقي: أ، ب.

فيه ب مرة واحدة.

الإجمالي:

٢٠) إذا ظهر العنصر أكثر من مرة في الدورة

لا تفترض أن كل عنصر يظهر مرة واحدة في الدورة.

مثال

أ، ب، أ، ج، أ، ب، أ، ج، ...

الدورة طولها ٤، والحرف أ يظهر مرتين في كل دورة.

في أول ١٠ حدود:

الدورتان الكاملتان تعطيان:

مرات.

والباقي: أ، ب، وفيه أ مرة.

إذن يظهر أ:

٢١) مواضع ظهور عنصر يتكرر مرة واحدة في الدورة

إذا كان طول الدورة د، وكان العنصر في الموضع ر داخل الدورة، فإنه يظهر في المواضع:

مثال

في الدورة أ، ب، ج، د، الحرف ج في الموضع ٣.

إذن يظهر في:

٣، ٧، ١١، ١٥، ...

٢٢) موضع الظهور رقم ك لعنصر

إذا كان العنصر يظهر مرة واحدة في كل دورة، وموقعه داخل الدورة ر، وطول الدورة د:

مثال

الدورة: أ، ب، ج، د.

ما موضع الظهور العاشر للحرف ج؟

إذن الظهور العاشر للحرف ج يقع في الحد رقم ٣٩.

٢٣) عدد الدورات الكاملة داخل أول ن حدًا

إذا كان طول الدورة د، فإن عدد الدورات الكاملة يساوي خارج القسمة الصحيح لن ÷ د.

مثال

طول الدورة ٥، ونريد أول ٢٣ حدًا.

إذن هناك ٤ دورات كاملة، ثم ٣ حدود إضافية.

٢٤) لا تخلط المتتابعة الدورية بالمتتابعة الحسابية

المتتابعة الحسابية لها فرق ثابت وتستمر في الزيادة أو النقصان.

أما المتتابعة الدورية فتعيد مجموعة من الحدود نفسها.

مثال

٢، ٥، ٨، ١١، ... ليست دورية؛ فرقها ثابت.

٢، ٥، ٨، ٢، ٥، ٨، ... دورية؛ لأنها تعيد الدورة نفسها.

٢٥) لا تخلط الدورة مع نمط متناوب غير دوري محدود

إذا تكررت العمليات لكن القيم نفسها لا تعود، فقد يكون لدينا نمط عمليات لا متتابعة دورية من الحدود.

مثال

٢، ٤، ٣، ٦، ٥، ١٠، ...

تتناوب عمليتا ×٢ و−١، لكن الحدود نفسها لا تعود في دورة ثابتة.

لذلك لا نستخدم باقي القسمة على مجموعة من الحدود كما نفعل في المتتابعة الدورية.

٢٦) الدورة الحقيقية قد تكون أطول مما تبدو

لا تتوقف عند أول تكرار جزئي.

مثال

أ، ب، أ، ج، أ، ب، أ، ج، ...

رؤية أ بعد حدين لا تعني أن طول الدورة ٢.

الدورة الكاملة هي:

أ، ب، أ، ج.

وطولها = ٤.

٢٧) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — حد بعيد

٣، ٥، ٧، ٣، ٥، ٧، ... فما الحد رقم ٢٨؟

أ) ٣
ب) ٥
ج) ٧
د) ٨

مثال ٢ — باقي صفر

دائرة، مربع، مثلث، نجمة، دائرة، مربع، مثلث، نجمة، ... ما الشكل رقم ٣٦؟

أ) دائرة
ب) مربع
ج) مثلث
د) نجمة

مثال ٣ — مجموع

٢، ٤، ٨، ٢، ٤، ٨، ... ما مجموع أول ١٢ حدًا؟

أ) ٤٨
ب) ٥٢
ج) ٥٦
د) ٦٠

مثال ٤ — عدد مرات الظهور

١، ٢، ٣، ٤، ١، ٢، ٣، ٤، ... كم مرة يظهر العدد ٣ في أول ٥٠ حدًا؟

أ) ١١
ب) ١٢
ج) ١٣
د) ١٤

٢٨) سؤال قدرات بصيغة أذكى

تبدأ المتتابعة بالحدين ٩، ٧، ثم تتكرر الدورة ٢، ٤، ٦ باستمرار. ما الحد رقم ١٠٠؟

أ) ٢
ب) ٤
ج) ٦
د) ٧

٢٩) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: تحديد دورة أطول من أصغر جزء يتكرر فعليًا.

الخطأ الثاني: إذا كان الباقي صفرًا، أخذ العنصر الأول بدل الأخير.

الخطأ الثالث: الخلط بين «الحد رقم ن» و«بعد ن خطوات».

الخطأ الرابع: عدّ الحدود يدويًا حتى رقم كبير بدل استخدام الباقي.

الخطأ الخامس: في المجموع، نسيان عناصر الجزء المتبقي بعد الدورات الكاملة.

الخطأ السادس: عند عد مرات الظهور، افتراض أن العنصر يظهر مرة واحدة في كل دورة دون التحقق.

الخطأ السابع: وجود بداية غير دورية ثم استخدام رقم الحد الكامل مباشرة على طول الدورة.

الخطأ الثامن: اعتبار أي نمط متناوب متتابعة دورية، رغم أن القيم نفسها قد لا تتكرر.

٣٠) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: ضع خطًا ذهنيًا حول أصغر دورة تتكرر.

التكتيك الثاني: اكتب طول الدورة فورًا.

التكتيك الثالث: اقسم رقم الحد على طول الدورة، وركز على الباقي.

التكتيك الرابع: باقي صفر = آخر عنصر.

التكتيك الخامس: مجموع أول ن حدًا = مجموع الدورات الكاملة + عناصر الباقي.

التكتيك السادس: عدد مرات الظهور = ما يظهر في الدورات الكاملة + ما يظهر في الباقي.

التكتيك السابع: إذا سبقت الدورة بداية غير متكررة، اطرح طول البداية أولًا.

التكتيك الثامن: الأيام والألوان والأرقام العشرية كلها الفكرة نفسها: دورة + باقي قسمة.

٣١) تدريب متدرج

سؤال ١

أ، ب، ج، أ، ب، ج، ... ما الحرف رقم ٤١؟

أ) أ
ب) ب
ج) ج
د) لا يمكن تحديده

سؤال ٢

٤، ٦، ٨، ١٠، ٤، ٦، ٨، ١٠، ... ما الحد رقم ٣٣؟

أ) ٤
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٠

سؤال ٣

أحمر، أزرق، أخضر، أصفر، ... بالتكرار. ما لون العنصر رقم ٤٧؟

أ) أحمر
ب) أزرق
ج) أخضر
د) أصفر

سؤال ٤

مثلث، مربع، دائرة، ... بالتكرار. ما الشكل رقم ٥١؟

أ) مثلث
ب) مربع
ج) دائرة
د) لا يمكن تحديده

سؤال ٥

إذا كان اليوم الأربعاء، فما اليوم بعد ٨٠ يومًا؟

أ) الخميس
ب) الجمعة
ج) السبت
د) الأحد

سؤال ٦

إذا كان اليوم الخميس، فما اليوم قبل ١٠ أيام؟

أ) الأحد
ب) الإثنين
ج) الثلاثاء
د) الأربعاء

سؤال ٧

في العدد ٠٫٢٥٢٥٢٥٢٥... ما الرقم في الخانة رقم ٣١ بعد الفاصلة؟

أ) ٢
ب) ٥
ج) ٠
د) ٧

سؤال ٨

في العدد ٠٫١٢٣١٢٣١٢٣... ما الرقم في الخانة رقم ٥٠ بعد الفاصلة؟

أ) ١
ب) ٢
ج) ٣
د) ٠

سؤال ٩

١، ٣، ٥، ١، ٣، ٥، ... ما مجموع أول ٢٢ حدًا؟

أ) ٦٠
ب) ٦٣
ج) ٦٤
د) ٦٦

سؤال ١٠

١، ٢، ٣، ١، ٢، ٣، ... كم مرة يظهر العدد ٢ في أول ٢٠ حدًا؟

أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩

سؤال ١١

أ، ب، أ، ج، ... بالتكرار. كم مرة يظهر أ في أول ١٤ حدًا؟

أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩

سؤال ١٢

الدورة أ، ب، ج، د. ما موضع الظهور العاشر للحرف ج؟

أ) ٣٥
ب) ٣٧
ج) ٣٩
د) ٤٠

سؤال ١٣

تبدأ المتتابعة بـ٩، ٧، ثم تتكرر ٢، ٤، ٦. ما الحد رقم ٢٠؟

أ) ٢
ب) ٤
ج) ٦
د) ٧

سؤال ١٤

دورة طولها ٥. كم دورة كاملة توجد في أول ٧٣ حدًا، وكم حدًا يبقى؟

أ) ١٣ دورة والباقي ٨
ب) ١٤ دورة والباقي ٣
ج) ١٥ دورة والباقي ٢
د) ١٤ دورة والباقي ٥

٣٢) ملخص الدرس

حدد أصغر دورة تتكرر، ثم طولها د.

لإيجاد الحد رقم ن: اقسم ن على د، والباقي يحدد موضع العنصر.

إذا كان الباقي صفرًا، نأخذ آخر عنصر في الدورة.

في المجموع أو عد مرات الظهور:

الدورات الكاملة أولًا، ثم افحص الجزء المتبقي.

إذا وُجدت بداية غير دورية، اطرح طولها قبل تطبيق قاعدة الدورة.

وفي صياغات «بعد» و«قبل» انتبه إلى أن السؤال يتحدث عن خطوات من وضع حالي، لا عن رقم حد من بداية متتابعة.