١) الفكرة الأساسية

المتتابعة الحسابية هي سلسلة أعداد يزيد أو ينقص فيها كل حد عن الحد السابق بمقدار ثابت يسمى الفرق المشترك.

مثال

٥، ٩، ١٣، ١٧،.....

نحسب الفروق:

إذن الفرق ثابت ويساوي ٤، فالمتتابعة حسابية.

٢) كيف أتعرف على المتتابعة الحسابية؟

اطرح كل حد من الحد الذي بعده. إذا حصلت على العدد نفسه في كل مرة، فالمتتابعة حسابية.

مثال متزايد

الفرق المشترك:

مثال متناقص

الفرق:

إذن:

٣) الفرق المشترك

يمكن إيجاد الفرق المشترك من أي حدين متتاليين:

مثال

انتبه

إذا كانت المتتابعة تتناقص، فالفرق المشترك سالب وليس موجبًا.

٤) إيجاد الحد التالي

إذا كان المطلوب الحد التالي فقط، فلا تحتاج إلى قانون الحد النوني. أضف الفرق إلى آخر حد.

مثال

الفرق = ٤، إذن:

٥) إيجاد حد مفقود بين حدين

إذا كان هناك حد مفقود، استخرج الفرق من الحدود الظاهرة ثم أكمل النمط.

مثال

الفرق = ٤، إذن الحد المفقود:

٦) قانون الحد النوني

لإيجاد حد بعيد نستخدم:

حيث:

أ₁: الحد الأول.

ن: رقم الحد المطلوب.

د: الفرق المشترك.

لماذا نستخدم ن - ١؟

لأننا نبدأ من الحد الأول، وللوصول إلى الحد الثاني نضيف فرقًا واحدًا، وللحد الثالث فرقين، وهكذا.

٧) تطبيق مباشر على قانون الحد النوني

أوجد الحد العاشر في:

لدينا:

إذن:

٨) مثال: إيجاد حد بعيد

أوجد الحد الثامن عشر في:

لدينا:

إذن:

٩) إيجاد رقم الحد

أحيانًا يعطيك السؤال قيمة حد ويسألك عن ترتيبه.

مثال

في المتتابعة:

أي حد يساوي ٤٩؟

نستخدم:

إذن:

١٠) إيجاد الحد الأول إذا عُرف حد آخر

نستخدم القانون نفسه لكن نجعل الحد الأول هو المجهول.

مثال

إذا كان الحد السادس يساوي ٢٧ والفرق المشترك ٤، فأوجد الحد الأول.

إذن:

١١) إيجاد الفرق المشترك من حدين غير متتاليين

إذا عرفت حدين غير متتاليين، احسب مقدار التغير الكلي ثم اقسمه على عدد الفواصل بينهما.

مثال

إذا كان:

و:

فبين الحد الثالث والسابع أربع فواصل، إذن:

قاعدة مختصرة

١٢) الحد الأوسط بين حدين

إذا كانت ثلاثة حدود متتالية في متتابعة حسابية، فإن الحد الأوسط هو متوسط الحدين المحيطين به.

مثال

إذا كانت:

ثلاثة حدود متتالية في متتابعة حسابية، فإن:

صيغة أخرى مهمة

١٣) الوسط الحسابي للمتتابعة الحسابية

هذه فكرة مرتبطة بالمتتابعات وتظهر أيضًا في قسم تحليل البيانات.

إذا كانت القيم متتابعة حسابية، فإن متوسطها يساوي:

مثال

أوجد الوسط الحسابي للأعداد:

هي متتابعة حسابية، لذلك:

تكتيك

لا تجمع كل الحدود إذا كانت المتتابعة حسابية منتظمة؛ استخدم الأول والأخير مباشرة.

١٤) إذا كان عدد الحدود فرديًا

في متتابعة حسابية بعدد فردي من الحدود، الحد الموجود في المنتصف يساوي الوسط الحسابي.

مثال

الحد الأوسط هو ١١، ومتوسط الأول والأخير:

١٥) مجموع حدود المتتابعة الحسابية

إذا أردت مجموع عدد كبير من الحدود، استخدم:

مثال

أوجد مجموع أول ١٠ حدود من:

أولًا نحسب الحد العاشر:

ثم:

١٦) تكتيك الأزواج لإيجاد المجموع

يمكن فهم قانون المجموع من خلال جمع الأول مع الأخير، والثاني مع قبل الأخير.

مثال

الأول + الأخير:

الثاني + قبل الأخير:

ويبقى الحد الأوسط ٨، فيكون المجموع:

١٧) المتتابعات التي تحتوي أعدادًا سالبة

القوانين نفسها تعمل مع السالب.

مثال

الفرق:

الحد السادس:

١٨) المتتابعات العشرية والكسرية

ليس شرطًا أن يكون الفرق عددًا صحيحًا.

مثال عشري

مثال كسري

١٩) الفرق بين المتتابعة الحسابية والهندسية

الحسابية: الفرق ثابت.

الهندسية: النسبة ثابتة.

تكتيك سريع

جرّب الطرح أولًا. إذا لم يكن ثابتًا، انظر إلى القسمة؛ فقد تكون هندسية.

٢٠) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — الحد التالي

ما الحد التالي؟

أ) ٢٢
ب) ٢٤
ج) ٢٦
د) ٢٨

مثال ٢ — فرق سالب

ما الفرق المشترك؟

أ) ٥
ب) -٥
ج) ١٠
د) -١٠

مثال ٣ — حد بعيد

أوجد الحد السابع في:

أ) ٢٢
ب) ٢٤
ج) ٢٦
د) ٢٨

مثال ٤ — تحديد النوع

أي المتتابعات التالية حسابية؟

أ)
ب)
ج)
د)

٢١) سؤال قدرات بصيغة أذكى

إذا كانت ثلاثة أعداد متتالية في متتابعة حسابية، وكان الأول ١٣ والثالث ٢٩، فما العدد الأوسط؟

أ) ١٨
ب) ٢٠
ج) ٢١
د) ٢٢

٢٢) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: الخلط بين الفرق والنسبة.

الخطأ الثاني: استخدام بدل في قانون الحد النوني.

الخطأ الثالث: جعل الفرق موجبًا دائمًا رغم أن المتتابعة تتناقص.

الخطأ الرابع: الحكم بأنها حسابية من أول فرق فقط؛ يجب التحقق من استمرار الفرق.

الخطأ الخامس: عند معرفة حدين غير متتاليين، قسمة فرق القيم على عدد الحدود بدل عدد الفواصل.

الخطأ السادس: استخدام متوسط الأول والأخير لأي مجموعة أعداد مرتبة؛ هذه الخاصية هنا تعتمد على كون القيم متتابعة حسابية.

الخطأ السابع: استخدام قانون الحد النوني عندما يكون المطلوب الحد التالي فقط، مما يضيع الوقت.

الخطأ الثامن: جمع عدد كبير من الحدود يدويًا مع وجود قانون أو تكتيك الأزواج.

٢٣) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: إذا كان المطلوب الحد التالي فقط، احسب الفرق وأضفه؛ لا تستخدم القانون الطويل.

التكتيك الثاني: للحدود البعيدة استخدم .

التكتيك الثالث: إذا سأل عن رقم حد، اجعل قيمة الحد معلومة وحل المعادلة في ن.

التكتيك الرابع: بين حدين غير متتاليين: فرق القيم ÷ فرق أرقام الحدود = د.

التكتيك الخامس: إذا كانت ثلاثة حدود متتالية، فالوسط = متوسط الطرفين مباشرة.

التكتيك السادس: إذا طلب الوسط الحسابي لمتتابعة حسابية، استخدم الأول والأخير بدل جمع كل الحدود.

التكتيك السابع: في المجموع، اقترن الأول بالأخير؛ ستلاحظ أن كل زوج له المجموع نفسه.

التكتيك الثامن: إذا كانت المتتابعة تتناقص، اكتب د بالسالب منذ البداية.

التكتيك التاسع: إذا لم يثبت الطرح، اختبر النسبة قبل أن تفترض أن النمط عشوائي.

٢٤) تدريب متدرج

سؤال ١ — الحد التالي

ما الحد التالي؟

أ) ٢٩
ب) ٣٠
ج) ٣١
د) ٣٢

سؤال ٢ — فرق متناقص

أوجد الفرق المشترك:

أ) ٦
ب) -٦
ج) ١٢
د) -١٢

سؤال ٣ — حد بعيد

أوجد الحد التاسع في:

أ) ٢٦
ب) ٢٧
ج) ٢٨
د) ٢٩

سؤال ٤ — فرق سالب في القانون

في متتابعة حسابية حدها الأول ١٠ والفرق -٢، ما الحد السادس؟

أ) ٠
ب) ٢
ج) ٤
د) ٦

سؤال ٥ — رقم الحد

في المتتابعة:

أي حد يساوي ٤٦؟

أ) التاسع
ب) العاشر
ج) الحادي عشر
د) الثاني عشر

سؤال ٦ — فرق من حدين غير متتاليين

إذا كان:

و:

فما الفرق المشترك؟

أ) ٣
ب) ٤
ج) ٥
د) ٦

سؤال ٧ — الحد الأوسط

إذا كانت:

ثلاثة حدود متتالية في متتابعة حسابية، فما س؟

أ) ٢٢
ب) ٢٣
ج) ٢٤
د) ٢٥

سؤال ٨ — الوسط الحسابي

أوجد الوسط الحسابي للمتتابعة:

أ) ١٢
ب) ١٤
ج) ١٦
د) ١٨

سؤال ٩ — المجموع

أوجد مجموع أول ٨ حدود من:

أ) ٩٦
ب) ١٠٨
ج) ١٢٠
د) ١٣٢

سؤال ١٠ — تحديد النوع

أي المتتابعات التالية ليست حسابية؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١١ — حد أول مجهول

إذا كان الحد الخامس في متتابعة حسابية يساوي ٢٣ والفرق ٤، فما الحد الأول؟

أ) ٥
ب) ٧
ج) ٩
د) ١١

سؤال ١٢ — كسر

ما الحد التالي؟

أ)
ب) ٣
ج)
د) ٤

٢٥) ملخص الدرس

المتتابعة الحسابية تتميز بفرق ثابت بين كل حدين متتاليين. إذا كان المطلوب حدًا قريبًا فأكمل النمط، وإذا كان بعيدًا فاستخدم:

ومن أهم الاختصارات: الحد الأوسط بين حدين متساويي البعد يساوي متوسطهما، والوسط الحسابي لمتتابعة حسابية يساوي متوسط الحد الأول والأخير.

ولإيجاد مجموع عدد كبير من الحدود استخدم:

وانتبه إلى أن الفرق قد يكون سالبًا أو عشريًا أو كسريًا، ولا تخلط بين المتتابعة الحسابية ذات الفرق الثابت والمتتابعة الهندسية ذات النسبة الثابتة.