١) الفكرة الأساسية

المعادلة تبحث غالبًا عن قيمة أو قيم تجعل طرفين متساويين، أما المتباينة فتصف مجموعة قيم تحقق شرطًا مثل أكبر من أو أصغر من.

علامات المتباينات الأساسية:

أكبر من:

أصغر من:

أكبر من أو يساوي:

أصغر من أو يساوي:

مثال

نطرح ٣ من الطرفين:

أي أن كل قيمة أكبر من ٤ تحقق المتباينة.

٢) الفرق بين المعادلة والمتباينة

في المعادلة:

الحل:

أما في المتباينة:

فالحل:

أي توجد قيم كثيرة تحققها، مثل ٥ و٦ و١٠ وغيرها.

٣) متى أستخدم المتباينات؟

تظهر المتباينات عندما يتكلم السؤال عن حد أو مجال أو شرط وليس قيمة واحدة فقط.

ومن الكلمات المهمة:

أكبر من، أصغر من، لا يقل عن، لا يزيد عن، على الأقل، على الأكثر، أكثر من، أقل من، ضمن، بين، القيم الممكنة، يحقق الشرط.

٤) ترجمة العبارات اللفظية

أكبر من ٧ تعني:

أصغر من ٧ تعني:

على الأقل ٧ أو لا يقل عن ٧ تعني:

على الأكثر ٧ أو لا يزيد عن ٧ تعني:

فرق مهم جدًا

عبارة أكبر من ٧ لا تشمل ٧ نفسها.

أما على الأقل ٧ فتشمل ٧ نفسها.

٥) الجمع والطرح في المتباينات

عند جمع العدد نفسه أو طرحه من الطرفين، لا يتغير اتجاه المتباينة.

مثال جمع

نضيف ٥ للطرفين:

مثال طرح

نطرح ٤:

٦) الضرب والقسمة في عدد موجب

إذا ضربنا أو قسمنا الطرفين على عدد موجب، تبقى إشارة المتباينة كما هي.

مثال

نقسم على ٣:

٧) القاعدة الذهبية: السالب يعكس الاتجاه

إذا ضربنا أو قسمنا طرفي المتباينة على عدد سالب، يجب عكس اتجاه الإشارة.

مثال

نقسم على -٣، فنعكس الإشارة:

لماذا نعكس الإشارة؟

لأن ضرب الأعداد في -١ يعكس ترتيبها على خط الأعداد.

مثلًا:

بعد الضرب في -١:

٨) متباينة من خطوتين

نحلها مثل المعادلة: نزيل الجمع أو الطرح أولًا، ثم الضرب أو القسمة.

مثال

نضيف ٥:

ثم نقسم على ٢:

مثال بسالب

نطرح ٣:

نقسم على -٢ ونعكس الإشارة:

٩) المتباينات التي تحتوي على أقواس

يمكن فك الأقواس أولًا ثم حل المتباينة.

مثال

يمكن القسمة مباشرة على ٣:

ثم:

تكتيك

كما في المعادلات، لا توزّع إذا كانت القسمة على العامل خارج القوس أسرع.

١٠) المتغير في الطرفين

نجمع حدود المتغير في طرف والأعداد في الطرف الآخر، كما نفعل في المعادلات.

مثال

نطرح ٣س من الطرفين:

نضيف ٣:

إذن:

١١) المتباينات الكسرية البسيطة

إذا كان المقام عددًا موجبًا معلومًا، نتخلص منه بالضرب دون تغيير الاتجاه.

مثال

نضرب الطرفين في ٤:

إذا كان المقسوم عليه سالبًا

نضرب في -٥، فنقلب الاتجاه:

١٢) المتباينة المركبة: بين حدين

قد يكون المتغير محصورًا بين حدين.

مثال:

هذا يعني أن س أكبر من ٣، وفي الوقت نفسه أصغر من أو يساوي ٨.

مثال لفظي

إذا كان عمر طالب لا يقل عن ١٥ سنة ولا يزيد عن ٢٠ سنة:

١٣) حل متباينة مركبة

في المتباينة المركبة نطبق العملية نفسها على الأجزاء الثلاثة.

مثال

نطرح ١ من الأطراف الثلاثة:

مثال مع الضرب

نقسم الأطراف الثلاثة على ٢:

١٤) الحد داخل الحل أو خارجه

إذا كانت العلامة أو فإن الحد نفسه داخل الحل.

أما إذا كانت أو فإن الحد نفسه غير داخل الحل.

مثال

يسمح بالقيمة ٥.

أما فلا يسمح بها.

١٥) اختيار قيمة تحقق المتباينة

في أسئلة الخيارات، قد يكون التعويض أسرع من الحل الكامل.

مثال

أي القيم التالية تحقق:

أ) ٣
ب) ٤
ج) ٥
د) ٦

١٦) استبدال المتغيرات بأرقام

من التكتيكات المهمة: عندما يحتوي سؤال المقارنة على متغير وشروط، يمكن تجربة أعداد تحقق الشروط المعطاة بدل محاولة إجراء جبر طويل.

طريقة الاستخدام

١. اختر قيمة بسيطة تحقق الشرط.

٢. عوّض بها في القيمتين.

٣. إذا احتجت للتأكد، جرّب قيمة أخرى تحقق الشرط.

٤. إذا تغيرت نتيجة المقارنة باختلاف القيم المسموحة، فالإجابة هي المعطيات غير كافية.

مثال

إذا كان:

قارن بين:

القيمة الأولى:
القيمة الثانية:

نجرب :

الأولى = ٨، الثانية = ٦، فالأولى أكبر.

نجرب :

الأولى = ١٥، الثانية = ٢٠، فالثانية أكبر.

إذن العلاقة ليست ثابتة، وبالتالي المعطيات غير كافية.

تكتيك أسرع

اختر أعدادًا سهلة مثل ٠ أو ١ أو عددًا قريبًا من الحد، بشرط أن تحقق الشرط فعلًا.

١٧) اختبار الحل بالتعويض

بعد حل متباينة، يمكن اختيار قيمة من داخل الحل وقيمة من خارجه للتأكد سريعًا.

مثال

إذا توصلنا إلى:

فجرّب ٥ في المتباينة الأصلية؛ يجب أن تحققها.

ويمكن تجربة ٤ أو ٣ للتأكد أنها لا تحقق شرط أكبر من ٤.

١٨) متى تكون المعطيات غير كافية؟

في أسئلة المقارنة، قد لا تعطي المتباينة معلومات كافية لتحديد علاقة ثابتة بين المقدارين.

مثال

إذا كان:

قارن بين:

القيمة الأولى: س
القيمة الثانية:

إذا كان فإن س أكبر من .

لكن إذا كان فإن أكبر.

إذن الشرط وحده غير كافٍ لتحديد الأكبر.

١٩) المقارنة بين متغيرين من نسبة بينهما

إذا عرفت نسبة س إلى ص، فلا تنظر إلى العددين في النسبة فقط؛ يجب الانتباه أيضًا إلى إشارة المتغيرين.

مثال أساسي

إذا كان:

فهذا يعني أن س وص لهما الإشارة نفسها، لأن النسبة موجبة.

الحالة الأولى: س وص موجبان

يمكن تمثيلهما مثلًا بـ:

إذن:

الحالة الثانية: س وص سالبان

يمكن تمثيلهما مثلًا بـ:

والآن:

النتيجة المهمة

إذا أعطيت النسبة الموجبة وحدها ولم تُحدد إشارة س وص، فقد تتغير نتيجة المقارنة، ولذلك تكون المعطيات غير كافية.

سؤال قدرات

إذا كان ، فقارن بين:

القيمة الأولى: س
القيمة الثانية: ص

أ) القيمة الأولى أكبر
ب) القيمة الثانية أكبر
ج) القيمتان متساويتان
د) المعطيات غير كافية

تكتيك سريع

في أسئلة المقارنة التي تحتوي على نسبة بين متغيرين، اسأل قبل أي شيء: هل الإشارات معلومة؟ وإذا لم تكن معلومة، جرّب حالة موجبة وحالة سالبة مسموحتين.

٢٠) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — جمع وطرح

حل المتباينة:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٢ — قسمة على موجب

حل:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٣ — قسمة على سالب

حل:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٤ — متغير في الطرفين

حل:

أ)
ب)
ج)
د)

٢١) سؤال قدرات بصيغة أذكى

إذا كان:

فأي القيم التالية لا يمكن أن تكون قيمة س؟

أ) -١
ب) ٠
ج) ٣
د) ٤

٢٢) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: نسيان عكس الإشارة عند الضرب أو القسمة على سالب.

الخطأ الثاني: عكس الإشارة عند الجمع أو الطرح.
لا نعكسها في الجمع والطرح.

الخطأ الثالث: الخلط بين «على الأقل» و«على الأكثر».

الخطأ الرابع: حذف علامة المساواة من أو .

الخطأ الخامس: اعتبار المتباينة كأن لها قيمة واحدة فقط.

الخطأ السادس: في المتباينة المركبة، إجراء العملية على جزء واحد وترك بقية الأجزاء.

الخطأ السابع: تجربة قيمة لا تحقق الشرط المعطى عند استخدام تكتيك التعويض.

الخطأ الثامن: تجربة قيمة واحدة فقط ثم الجزم بالعلاقة في سؤال مقارنة يمكن أن تتغير نتيجته.

الخطأ التاسع: نسيان أن القسمة على عدد سالب في كسر متباينة تستلزم قلب الاتجاه أيضًا.

٢٣) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: تعامل مع المتباينة مثل المعادلة، حتى تصل إلى خطوة ضرب أو قسمة على سالب.

التكتيك الثاني: بمجرد أن تقسم أو تضرب في سالب، اقلب الإشارة فورًا قبل متابعة الحساب.

التكتيك الثالث: ترجم الكلمات أولًا: «على الأقل» = يشمل الحد من الأعلى، و«على الأكثر» = يشمل الحد من الأسفل.

التكتيك الرابع: إذا كان السؤال يطلب قيمة تحقق الشرط من الخيارات، فالتعويض قد يكون أسرع من الحل الجبري.

التكتيك الخامس: في سؤال مقارنة مع متغير وشروط، جرّب قيمًا بسيطة تحقق الشروط.

التكتيك السادس: لا يكفي مثال واحد لإثبات أن العلاقة ثابتة إذا كان الشرط يسمح بقيم كثيرة؛ جرّب قيمة أخرى من منطقة مختلفة إذا شككت.

التكتيك السابع: في المتباينة المركبة، تخيل أن المتغير محصور بين جدارين، ثم نفّذ العملية نفسها على الأطراف الثلاثة.

التكتيك الثامن: عند وجود قوس مضروب في عدد، جرّب القسمة على العامل أولًا قبل التوزيع إذا كانت أسرع.

التكتيك التاسع: بعد الحل، عوّض بقيمة داخل المجال للتأكد من اتجاه الإشارة.

التكتيك العاشر: انتبه للحدود المفتوحة والمغلقة: لا تشمل ٥، بينما تشملها.

٢٤) تدريب متدرج

سؤال ١ — جمع وطرح

حل:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٢ — قسمة على موجب

حل:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٣ — قسمة على سالب

حل:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٤ — عبارتان لفظيتان

إذا كان العمر ع لا يقل عن ١٢ ولا يزيد عن ١٧، فأي متباينة تمثل ذلك؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٥ — أقواس

حل:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٦ — متغير في الطرفين

حل:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٧ — كسر بسالب

حل:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٨ — متباينة مركبة

حل:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٩ — قيمة تحقق الشرط

أي القيم التالية تحقق:

أ) -١
ب) ٠
ج) ٤
د) ٥

سؤال ١٠ — المعطيات غير كافية

إذا كان:

قارن بين:

القيمة الأولى: س
القيمة الثانية:

أ) القيمة الأولى أكبر
ب) القيمة الثانية أكبر
ج) القيمتان متساويتان
د) المعطيات غير كافية

سؤال ١١ — اختبار قيم حسب الشرط

إذا كان:

فأي القيم التالية يمكن أن تكون س؟

أ) ٧
ب) ٦
ج) ٥
د) ٤

سؤال ١٢ — حد مشمول أم لا

إذا كان:

فأي القيم التالية لا تحقق المتباينة؟

أ) -٢
ب) -١
ج) ٠
د) -٣

٢٥) ملخص الدرس

المتباينة تشبه المعادلة في خطوات الحل، لكن جوابها غالبًا مجموعة قيم. في الجمع والطرح، وفي الضرب أو القسمة على عدد موجب، تبقى الإشارة كما هي. أما عند الضرب أو القسمة على عدد سالب فنعكس اتجاهها.

انتبه إلى العبارات اللفظية: «على الأقل» و«لا يقل عن» تعنيان ، و«على الأكثر» و«لا يزيد عن» تعنيان .

في المتباينات المركبة نطبّق العملية نفسها على الأطراف كلها. وفي أسئلة المقارنة، يمكن استخدام تكتيك استبدال المتغير بقيم تحقق الشروط؛ وإذا تغيرت العلاقة باختلاف القيم المسموحة فالمعطيات غير كافية.

القاعدة الذهبية: السالب يعكس اتجاه المتباينة.