١) الفكرة الأساسية

الفرق بين مربعين يعني أن لدينا حدًا مربعًا مطروحًا منه حد مربع آخر.

القانون الأساسي:

أي أننا نأخذ جذر كل مربع، ثم نكتب قوسًا بالطرح وقوسًا بالجمع.

مثال بسيط

نطبق القانون:

٢) متى أستخدم الفرق بين مربعين؟

استخدم القاعدة عندما ترى تعبيرًا على صورة مربع ناقص مربع.

مثل:

كلمات تساعدك على اكتشاف الفكرة: حلّل، بسّط، فرق مربعين، أوجد القيمة، اختر الصورة المكافئة.

٣) طريقة الحل

اتبع ثلاث خطوات:

١. تأكد أن الحد الأول مربع كامل.

٢. تأكد أن الحد الثاني مربع كامل.

٣. خذ الجذرين واكتب:

مثال

حلّل:

لدينا:

إذن:

٤) إذا كان الحد يحتوي على معامل ومتغير

نأخذ جذر العدد وجذر المتغير معًا.

مثال:

نكتب:

و:

إذن:

٥) استخدام الفرق بين مربعين للحساب السريع

في اختبار القدرات قد تكون القاعدة أسرع بكثير من حساب كل مربع على حدة.

مثال:

بدل حساب المربعين:

مثال أسرع

نطبق القانون مباشرة:

٦) مقارنة حاصلَي ضرب حول قيمة مركزية

من التكتيكات السريعة في المقارنة أن تلاحظ حاصل ضرب عددين يقعان على المسافة نفسها من عدد مركزي.

إذا كان لدينا:

فباستخدام الفرق بين مربعين:

وبما أن موجب عندما ، فإن:

مثال مهم

قارن بين:

القيمة الأولى:
القيمة الثانية:

نلاحظ أن:

إذن:

أما:

إذن القيمة الثانية أكبر بواحد.

التعميم المفيد

إذا قارنت حاصل ضرب عددين متساويي البعد عن أ مع ، فإن حاصل ضرب العددين المتباعدين عن أ يكون أصغر بمقدار مربع المسافة.

مثال آخر

بينما:

فالفرق = ٤.

٧) إيجاد المقدار الثالث إذا عُلم مقداران

من أهم تطبيقات الفرق بين مربعين في القدرات أن يعطيك السؤال مقدارين من العلاقة ويطلب المقدار الثالث.

تذكّر العلاقة:

إذن لدينا ثلاثة مقادير مترابطة:

، ،

إذا عرفت اثنين منها، تستطيع إيجاد الثالث مباشرة.

مثال ١: معلوم المجموع والفرق

إذا كان:

و:

فأوجد:

نطبق القانون مباشرة:

مثال ٢: معلوم فرق المربعين والفرق

إذا كان:

و:

فأوجد:

نعوّض في القانون:

إذن:

مثال ٣: معلوم فرق المربعين والمجموع

إذا كان:

و:

فأوجد:

نعوّض:

إذن:

تكتيك سريع

إذا أعطاك السؤال و وطلب ، لا تحاول إيجاد أ وب كلًّا على حدة. اضرب المجموع في الفرق مباشرة.

٨) استخدام القاعدة لحل معادلة

إذا كان لدينا فرق بين مربعين يساوي صفرًا، يمكن التحليل ثم استخدام قاعدة حاصل الضرب الصفري.

مثال:

نحلّل:

إذن:

فإما:

أو:

إذن:

٩) العلاقة بين الفرق بين مربعين والمربع الكامل

لا تخلط بين:

و:

الأول فرق بين مربعين:

أما الثاني فهو مربع كامل:

١٠) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١

حلّل:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٢

حلّل:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٣

حلّل:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٤

أوجد قيمة:

أ) ٢٠٠
ب) ٣٠٠
ج) ٤٠٠
د) ٥٠٠

١١) سؤال قدرات بصيغة أذكى

إذا كان:

فما القيم الممكنة لـ س؟

أ) ٤ فقط
ب) ٨ فقط
ج) ٨ أو -٨
د) ٦٤ أو -٦٤

١٢) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: تطبيق القانون على جمع مربعين.
القانون:

ولا يطبق بالطريقة نفسها على:

الخطأ الثاني: أخذ جذر المعامل بصورة خاطئة.
في:

الجذران هما ٧س و٦، وليس ٤٩س و٣٦.

الخطأ الثالث: كتابة القوسين بالإشارة نفسها.
الصحيح دائمًا قوس جمع وقوس طرح.

الخطأ الرابع: عدم الانتباه إلى ترتيب الطرح.
مثل:

بينما:

الخطأ الخامس: الخلط بين الفرق بين مربعين والمربع الكامل.
وجود حد أوسط يغيّر نوع التحليل.

١٣) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: إذا رأيت مربعين وبينهما طرح، فكّر فورًا في الفرق بين مربعين قبل إجراء أي حساب طويل.

التكتيك الثاني: في الأعداد المتقاربة، القانون يكون شديد السرعة.

مثل:

التكتيك الثالث: احفظ المربعات الكاملة المشهورة حتى تتعرف على النمط مباشرة.

، ، ، ، ، ، ، ، .

التكتيك الرابع: إذا كان الحد يحتوي على متغير، خذ جذر العدد وجذر المتغير معًا.

مثل:

التكتيك الخامس: إذا عرفت المجموع والفرق، فلا تبحث عن العددين أولًا. استخدم مباشرة:

التكتيك السادس: إذا كان الفرق بين مربعين يساوي صفرًا، حلّل ثم استخدم قاعدة حاصل الضرب الصفري بدل محاولة أخذ الجذر مباشرة إذا كان التحليل أوضح.

١٤) تدريب سريع

سؤال ١

حلّل:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٢

حلّل:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٣

أوجد قيمة:

أ) ٦٠
ب) ٩٠
ج) ١٢٠
د) ١٨٠

سؤال ٤

أي التعبيرات التالية يمثل فرقًا بين مربعين؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٥

إذا كان:

و:

فما قيمة:

أ) ١٢
ب) ١٦
ج) ٢٨
د) ١٩٦

١٥) ملخص الدرس

الفرق بين مربعين من أهم قواعد التحليل والحساب السريع. إذا رأيت تعبيرًا على صورة:

فحوّله مباشرة إلى:

تأكد أن كل حد مربع كامل، ولا تطبق القاعدة على جمع مربعين. وإذا عرفت اثنين من المقادير الثلاثة: فرق المربعين، والفرق، والمجموع، فاستخدم العلاقة لإيجاد الثالث مباشرة. وفي أسئلة القدرات استعمل القاعدة خصوصًا عندما تكون الأعداد كبيرة ومتقاربة؛ لأنها تختصر الحساب بصورة كبيرة.