١) الفكرة الأساسية

هذا القسم هو أساس أغلب أسئلة الكمي في القدرات. كثير من الأخطاء لا تكون بسبب صعوبة السؤال، بل بسبب خطأ بسيط في الجمع أو الطرح أو ترتيب العمليات أو فهم نوع العدد.

العمليات الأساسية هي: الجمع، الطرح، الضرب، القسمة.

أما أنواع الأعداد التي تتكرر كثيرًا فهي: الأعداد الصحيحة، الأعداد الموجبة والسالبة، الأعداد الزوجية والفردية، الأعداد الأولية والمركبة، والأعداد الطبيعية.

٢) متى أحتاج هذا القسم؟

تحتاجه في أي سؤال يحتوي على عمليات حسابية مباشرة أو غير مباشرة.
غالبًا يظهر في أسئلة مثل: احسب، أوجد الناتج، ما قيمة التعبير، أي الأعداد التالية أولي، أي الأعداد التالية زوجي، إذا كان العدد فرديًا، إذا كان س عددًا صحيحًا.

مثال سريع:

٦ + ٤ × ٣

لا نبدأ بالجمع، بل نبدأ بالضرب:

٤ × ٣ = ١٢

ثم:

٦ + ١٢ = ١٨

إذن الناتج هو ١٨.

٣) ترتيب العمليات

في القدرات، ترتيب العمليات مهم جدًا.
الترتيب الصحيح هو:

الأقواس أولًا، ثم الأسس، ثم الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح.

مثال:

٢٠ - ٤ × ٣

نبدأ بالضرب:

٤ × ٣ = ١٢

ثم:

٢٠ - ١٢ = ٨

الناتج هو ٨، وليس ٤٨.

مثال آخر:

(٢٠ - ٤) × ٣

نبدأ بالقوس:

٢٠ - ٤ = ١٦

ثم:

١٦ × ٣ = ٤٨

لاحظ أن وجود القوس غيّر الناتج.

٤) الأعداد الموجبة والسالبة

العدد الموجب أكبر من الصفر، مثل ٥.
والعدد السالب أصغر من الصفر، مثل -٥.

قواعد مهمة:

(+) × (+) = +

(-) × (-) = +

(+) × (-) = -

(-) × (+) = -

مثال:

-٤ × -٣ = ١٢

لأن ضرب عددين سالبين يعطي عددًا موجبًا.

مثال آخر:

-٥ × ٦ = -٣٠

لأن ضرب عدد سالب في عدد موجب يعطي عددًا سالبًا.

٥) الجمع والطرح مع السالب

عند جمع عددين لهما نفس الإشارة، نجمع ونحافظ على الإشارة.

مثال:

-٧ + -٥ = -١٢

أما إذا كانت الإشارتان مختلفتين، نطرح الأصغر من الأكبر ونأخذ إشارة العدد الأكبر.

مثال:

-٩ + ٤ = -٥

لأن ٩ أكبر من ٤، وإشارته سالبة.

مثال آخر:

١٢ - ١٧ = -٥

لأننا نطرح عددًا أكبر من عدد أصغر.

٦) الأعداد الزوجية والفردية

العدد الزوجي هو العدد الذي يقبل القسمة على ٢ بدون باقي.
مثل: ٢، ٤، ٦، ٨، ١٠.

العدد الفردي هو العدد الذي لا يقبل القسمة على ٢ بدون باقي.
مثل: ١، ٣، ٥، ٧، ٩.

قواعد مهمة:

زوجي + زوجي = زوجي

فردي + فردي = زوجي

زوجي + فردي = فردي

زوجي × أي عدد صحيح = زوجي

فردي × فردي = فردي

مثال:

٧ + ٩ = ١٦

فردي + فردي = زوجي.

مثال:

٥ × ٣ = ١٥

فردي × فردي = فردي.

خصائص مهمة للعدد صفر

للصفر بعض الخصائص التي قد تظهر في أسئلة القدرات ويجب الانتباه إليها.

الصفر عدد زوجي

الصفر عدد زوجي؛ لأنه يقبل القسمة على ٢ دون باقٍ.

٠ ÷ ٢ = ٠

إذن:

٠ عدد زوجي

وهذه نقطة مهمة لأن بعض الأسئلة قد تسأل عن عدد الأعداد الزوجية في مجموعة تحتوي على الصفر.

الصفر ليس موجبًا ولا سالبًا

الصفر:

ليس عددًا موجبًا ولا عددًا سالبًا.

وهو يفصل بين الأعداد السالبة والموجبة على خط الأعداد:

…، −٣، −٢، −١، ٠، ١، ٢، ٣، …

لذلك:

كل عدد موجب > ٠

و:

كل عدد سالب < ٠

والصفر أكبر من أي عدد سالب وأصغر من أي عدد موجب.

إذا كان حاصل الضرب يساوي صفرًا

إذا كان حاصل ضرب عددين أو أكثر يساوي صفرًا، فلا بد أن يكون أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا.

مثال:

إذا كان:

س × ص = ٠

فلا بد أن:

س = ٠ أو ص = ٠

مثال عددي:

٥ × ٠ = ٠

وكذلك:

٠ × ١٢ × ٧ = ٠

انتبه إلى الفرق

هناك قاعدتان متعاكستان مهمتان:

إذا كان أحد العوامل صفرًا ← حاصل الضرب صفر

إذا كان حاصل الضرب صفرًا ← أحد العوامل على الأقل صفر

القاعدة الثانية ستكون مهمة لاحقًا أيضًا عند حل بعض المعادلات.

للحفظ

٠ عدد زوجي.

٠ ليس موجبًا ولا سالبًا.

أي عدد سالب < ٠ < أي عدد موجب.

حاصل ضرب يساوي ٠ → أحد العوامل على الأقل يساوي ٠.

جمع الأعداد المتتالية والزوجية والفردية

في بعض أسئلة القدرات يُطلب إيجاد مجموع عدد كبير من الأعداد المتتابعة. بدل جمعها واحدًا واحدًا، يمكن استخدام قوانين سريعة.

١) مجموع الأعداد من ١ إلى ن

لإيجاد:

١ + ٢ + ٣ + ... + ن

نستخدم:

المجموع = ن × (ن + ١) ÷ ٢

مثال

أوجد:

١ + ٢ + ٣ + ... + ٢٠

٢) مجموع الأعداد الزوجية من ٢ إلى ن

إذا كان ن عددًا زوجيًا، وكان المطلوب:

٢ + ٤ + ٦ + ... + ن

فنستخدم:

المجموع = ن × (ن + ٢) ÷ ٤

مثال

أوجد:

٢ + ٤ + ٦ + ٨ + ١٠ + ١٢

٣) مجموع أول عدد من الأعداد الفردية

هناك قاعدة مهمة جدًا:

مجموع أول ن أعداد فردية = ن^٢

أي:

١ = ١^٢

١ + ٣ = ٢^٢ = ٤

١ + ٣ + ٥ = ٣^٢ = ٩

١ + ٣ + ٥ + ٧ = ٤^٢ = ١٦

وهكذا.

مثال

أوجد:

١ + ٣ + ٥ + ... + ١٩

كيف أعرف عدد الأعداد الفردية؟

إذا كانت الأعداد الفردية تبدأ من ١ وتنتهي بعدد فردي ن:

عددها = (ن + ١) ÷ ٢

مثال:

من ١ إلى ١٩:

(١٩ + ١) ÷ ٢ = ١٠

إذن يوجد ١٠ أعداد فردية.

تكتيك سريع

إذا رأيت:

١ + ٢ + ٣ + ...
→ فكّر في قانون مجموع الأعداد من ١ إلى ن.

إذا رأيت:

٢ + ٤ + ٦ + ...
→ استخدم قانون مجموع الأعداد الزوجية.

إذا رأيت:

١ + ٣ + ٥ + ...
→ عدّ الحدود ثم ربّع عددها.

سؤال قدرات

ما مجموع الأعداد الفردية:

١ + ٣ + ٥ + ... + ٢٩ ؟

أرقام متكررة للحفظ

بعض عمليات الضرب تظهر كثيرًا أثناء حل أسئلة القدرات. حفظ نتائجها يوفر وقتًا ويقلل الأخطاء الحسابية.

احفظ هذه النتائج:

١٠٠ = ٢٥ × ٤

١٠٠ = ٢٠ × ٥

١٢٥ = ٥ × ٢٥

٢٢٥ = ٥ × ٤٥

٦٢٥ = ٥ × ١٢٥

٦٢٥ = ٢٥ × ٢٥

٦٥ = ٥ × ١٣

٩١ = ٧ × ١٣

٥١ = ٣ × ١٧

لماذا أحفظها؟

لأن هذه الأعداد تظهر كثيرًا داخل مسائل أكبر، وقد يكون المطلوب الحقيقي في السؤال نسبة أو مساحة أو متوسطًا أو معادلة، لكن سرعة إجراء العملية الحسابية توفر وقت الحل.

مثال:

إذا ظهر في السؤال:

٢٥ × ١٦

يمكن ملاحظة أن:

١٦ = ٤ × ٤

إذن:

٢٥ × ١٦ = ٢٥ × ٤ × ٤

وبما أن:

٢٥ × ٤ = ١٠٠

إذن:

١٠٠ × ٤ = ٤٠٠

تكتيك سريع

لا تحفظ النتيجة فقط، بل انتبه إلى إمكانية تفكيك العدد للوصول إلى عملية محفوظة.

مثال:

١٢٥ × ٢٠

نكتب:

١٢٥ × ٥ × ٤

وبما أن:

١٢٥ × ٥ = ٦٢٥

إذن:

٦٢٥ × ٤ = ٢٥٠٠

للحفظ

خصوصًا تذكّر العلاقات التي تكوّن:

١٠٠، ١٢٥، ٢٢٥، ٦٢٥

لأنها تظهر كثيرًا عند التبسيط والحساب الذهني.

استنتاج آحاد ناتج القسمة

في بعض أسئلة القسمة على أعداد كبيرة، يمكن استبعاد الخيارات بسرعة من خلال رقم الآحاد دون إجراء القسمة كاملة.

إذا كانت القسمة تامة:

المقسوم عليه × ناتج القسمة = المقسوم

لذلك يجب أن يكون رقم آحاد:

المقسوم عليه × ناتج القسمة

هو نفسه رقم آحاد المقسوم.

مثال

أوجد:

٦٨٨ ÷ ١٦

وكانت الخيارات:

أ) ٤١
ب) ٤٢
ج) ٤٣
د) ٤٤

بدل إجراء القسمة كاملة، ننظر إلى الآحاد.

آحاد المقسوم عليه = ٦
آحاد المقسوم = ٨

نختبر آحاد الخيارات:

٦ × ١ = ٦ ← لا يصلح

٦ × ٢ = ١٢ ← الآحاد ٢، لا يصلح

٦ × ٣ = ١٨ ← الآحاد ٨، يصلح

٦ × ٤ = ٢٤ ← الآحاد ٤، لا يصلح

إذن الخيار الوحيد الممكن هو:

٤٣

والتحقق:

١٦ × ٤٣ = ٦٨٨

الإجابة: ٤٣

تكتيك سريع

إذا كانت الخيارات تختلف في رقم الآحاد:

لا تبدأ بالقسمة الطويلة.

جرّب:

آحاد المقسوم عليه × آحاد كل خيار

واستبعد كل خيار لا يعطي نفس آحاد المقسوم.

انتبه

هذه الحيلة لا تعطي إجابة واحدة دائمًا.

فقد يحقق أكثر من رقم آحاد الشرط نفسه، وعندها نستخدم الحيلة فقط لاستبعاد بعض الخيارات ثم نكمل بطريقة أخرى.

كذلك نستخدمها عندما تكون القسمة تامة ويكون المطلوب خارج القسمة.

حاصل ضرب الأعداد الصحيحة المتتالية

في بعض الأسئلة يُطلب حاصل ضرب مجموعة من الأعداد الصحيحة المتتالية، ويمكن معرفة الناتج أو إشارته بسرعة دون إجراء جميع عمليات الضرب.

إذا وُجد الصفر

إذا كانت الأعداد المتتالية تحتوي على الصفر، فإن حاصل الضرب يساوي صفرًا مباشرة.

لأن:

أي عدد × ٠ = ٠

مثال

أوجد حاصل ضرب الأعداد الصحيحة من −٣ إلى ٣.

الأعداد هي:

−٣، −٢، −١، ٠، ١، ٢، ٣

بما أن المجموعة تحتوي على الصفر:

حاصل الضرب = ٠

لا حاجة إلى إجراء أي عملية ضرب أخرى.

إذا لم يوجد الصفر

إذا لم يكن الصفر ضمن الأعداد، فنحدد إشارة الناتج من عدد العوامل السالبة:

عدد سالب زوجي → الناتج موجب

عدد سالب فردي → الناتج سالب

مثال ١

أوجد إشارة حاصل الضرب:

(−٣) × (−٢) × (−١) × ١ × ٢ × ٣

لدينا ٣ أعداد سالبة.

٣ عدد فردي.

إذن:

حاصل الضرب سالب

وبالفعل:

(−٣) × (−٢) × (−١) × ١ × ٢ × ٣ = −٣٦

مثال ٢

ما إشارة:

(−٤) × (−٣) × (−٢) × (−١) × ١ × ٢ × ٣

عدد العوامل السالبة = ٤

وهو عدد زوجي.

إذن:

الناتج موجب

تكتيك سريع

في حاصل ضرب عدد كبير من الأعداد، لا تبدأ بالضرب مباشرة.

انظر أولًا:

هل يوجد صفر؟

نعم ← الناتج صفر فورًا

لا ← عدّ العوامل السالبة

• عددها زوجي ← الناتج موجب

• عددها فردي ← الناتج سالب

انتبه

هذه القاعدة تحدد إشارة الناتج، وليس قيمته العددية دائمًا.

فإذا كان السؤال يسأل فقط:

موجب أم سالب أم صفر؟

فلا حاجة إلى إجراء الضرب كاملًا.

٧) الأعداد الأولية والمركبة

العدد الأولي هو عدد أكبر من ١ لا يقبل القسمة إلا على ١ وعلى نفسه.

أمثلة على الأعداد الأولية:

٢، ٣، ٥، ٧، ١١، ١٣، ١٧، ١٩

ملاحظة مهمة: العدد ٢ هو العدد الأولي الزوجي الوحيد.

العدد المركب هو عدد أكبر من ١ وله أكثر من عاملين.

مثال:

١٢ عدد مركب؛ لأنه يقبل القسمة على ١، ٢، ٣، ٤، ٦، ١٢.

أما العدد ١ فليس أوليًا ولا مركبًا.

٨) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١

احسب قيمة التعبير:

٨ + ٣ × ٤

أ) ٢٠
ب) ٣٢
ج) ٤٤
د) ٤٨

مثال ٢

احسب:

(٨ + ٣) × ٤

أ) ٢٠
ب) ٣٢
ج) ٤٤
د) ٤٨

مثال ٣

ما ناتج:

-٦ × -٥

أ) -٣٠
ب) -١١
ج) ١١
د) ٣٠

مثال ٤

أي الأعداد التالية عدد أولي؟

أ) ٢١
ب) ٢٧
ج) ٢٩
د) ٣٣

٩) سؤال قدرات بصيغة أذكى

إذا كان ن عددًا فرديًا، فأي العبارات التالية يكون عددًا زوجيًا دائمًا؟

أ) ن + ٢
ب) ن + ٣
ج) ن × ن
د) ن + ن + ١

١٠) مثال مهم: عدد أولي أم مركب؟

أي الأعداد التالية ليس عددًا أوليًا؟

أ) ٢
ب) ١٧
ج) ٣١
د) ٣٩

١١) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: تنفيذ العمليات من اليمين إلى اليسار دائمًا.
في الرياضيات لا نحسب حسب اتجاه القراءة فقط، بل حسب ترتيب العمليات. الضرب والقسمة قبل الجمع والطرح، إلا إذا وُجدت أقواس.

الخطأ الثاني: نسيان تأثير الأقواس.
٥ + ٢ × ٣ = ١١، لكن (٥ + ٢) × ٣ = ٢١.

الخطأ الثالث: الخلط في إشارات السالب.
-٤ × -٢ = ٨، وليس -٨.
أما -٤ × ٢ = -٨.

الخطأ الرابع: اعتبار العدد ١ عددًا أوليًا.
العدد ١ ليس أوليًا؛ لأن العدد الأولي يجب أن يكون له عاملان فقط: ١ ونفسه.

الخطأ الخامس: الاعتقاد أن كل عدد فردي أولي.
ليس صحيحًا. مثلًا ٩ و١٥ و٢١ أعداد فردية لكنها ليست أولية.

١٢) حيل سريعة

الحيلة الأولى: في ترتيب العمليات، اسأل: هل يوجد قوس؟ هل يوجد ضرب أو قسمة؟
لا تبدأ بالجمع أو الطرح حتى تتأكد من عدم وجود عملية أقوى قبلها.

الحيلة الثانية: لمعرفة هل العدد زوجي، انظر إلى الرقم الأخير.
إذا كان الرقم الأخير ٠ أو ٢ أو ٤ أو ٦ أو ٨ فالعدد زوجي.
وإذا كان الرقم الأخير ١ أو ٣ أو ٥ أو ٧ أو ٩ فالعدد فردي.

الحيلة الثالثة: لاختبار قابلية القسمة على ٣، اجمع الأرقام.
إذا كان مجموع الأرقام يقبل القسمة على ٣، فالعدد يقبل القسمة على ٣.

مثال:

٣٩: مجموع الأرقام ٣ + ٩ = ١٢، و١٢ تقبل القسمة على ٣، إذن ٣٩ تقبل القسمة على ٣.

الحيلة الرابعة: العدد ٢ هو الأولي الزوجي الوحيد.
أي عدد زوجي أكبر من ٢ ليس أوليًا.

الحيلة الخامسة: في أسئلة الزوجي والفردي، لا تحتاج أحيانًا للحساب الكامل.
مثال: ٢٤٦ + ١٣٥.
فردي + فردي = زوجي.
إذن الناتج زوجي دون حسابه.

١٣) تدريب سريع

سؤال ١

احسب:

١٨ - ٢ × ٥

أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٦
د) ٨٠

سؤال ٢

احسب:

-٨ + ٣

أ) -١١
ب) -٥
ج) ٥
د) ١١

سؤال ٣

إذا كان أ عددًا زوجيًا وب عددًا فرديًا، فإن أ + ب يكون:

أ) زوجيًا دائمًا
ب) فرديًا دائمًا
ج) أوليًا دائمًا
د) موجبًا دائمًا

سؤال ٤

أي الأعداد التالية عدد مركب؟

أ) ١١
ب) ١٣
ج) ١٩
د) ٢٥

١٤) ملخص الدرس

العمليات الأساسية وأنواع الأعداد من أهم أساسيات الكمي. في العمليات، يجب الالتزام بترتيب الحل: الأقواس، ثم الأسس، ثم الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح. وفي أنواع الأعداد، يجب التمييز بين الزوجي والفردي، والأولي والمركب، والموجب والسالب. كثير من أسئلة القدرات يمكن حلها بسرعة إذا عرفت خواص الأعداد بدل إجراء حسابات طويلة.