١) الفكرة الأساسية

العامل المشترك هو جزء موجود في كل حدود المقدار.

إخراجه خارج القوس هو عكس خاصية التوزيع.

مثال:

لأننا إذا وزعنا ٤ مرة أخرى نحصل على المقدار الأصلي:

٢) متى أستخدم العامل المشترك؟

فكّر في العامل المشترك عندما ترى عدة حدود وتشترك جميعها في:

١. عدد.

٢. متغير.

٣. عدد ومتغير معًا.

٤. قوة مشتركة.

٥. نمط عددي يمكن تبسيطه سريعًا بأخذ عامل مشترك.

وتظهر الأسئلة عادة بصيغ مثل: حلّل، بسّط، أخرج العامل المشترك، اختر الصورة المكافئة، أوجد القيمة بأسرع طريقة.

٣) كيف أجد أكبر عامل مشترك؟

اتبع الترتيب التالي:

أولًا: ابحث عن القاسم المشترك الأكبر للمعاملات العددية.

ثانيًا: ابحث عن المتغير الموجود في جميع الحدود.

ثالثًا: إذا كان المتغير مرفوعًا لأسس مختلفة، خذ أصغر أس مشترك.

مثال

حلّل:

القاسم المشترك الأكبر بين ١٢ و١٨ هو ٦.

وبين و نأخذ أصغر أس، وهو:

إذن العامل المشترك الأكبر:

وبالتالي:

٤) العامل المشترك العددي فقط

مثال:

أكبر عدد يقسم ١٨ و٢٤ هو ٦.

إذن:

مثال آخر

٥) العامل المشترك المتغير

إذا ظهر متغير في كل الحدود، أخرجه أيضًا.

مثال:

العامل العددي المشترك هو ٥، والمتغير المشترك هو س.

إذن:

٦) أكثر من متغير

ابحث عن المتغيرات الموجودة في جميع الحدود فقط.

مثال:

المتغير أ موجود في الحدين، أما ب فليس موجودًا في الحد الثاني؛ لذلك لا نخرجه.

مثال أصعب

العامل العددي المشترك هو ٦، ويوجد س وص في الحدين.

إذن:

٧) العامل المشترك في ثلاثة حدود أو أكثر

يجب أن يكون العامل موجودًا في كل الحدود، وليس في بعضها فقط.

مثال:

لاحظ أن المتغير س ليس موجودًا في الحد الأخير؛ لذلك العامل المشترك هو ٦ فقط.

٨) إذا كان أحد الحدود يساوي العامل المشترك نفسه

هذه نقطة يتكرر الخطأ فيها.

مثال:

نخرج ٦س:

لماذا ظهر ١؟ لأن:

لا يجوز أن نترك مكان الحد فارغًا داخل القوس.

٩) العامل المشترك مع الأسس

إذا كانت الحدود تحتوي على قوى لنفس الأساس، يمكن إخراج القوة ذات أصغر أس عاملًا مشتركًا.

مثال:

أصغر أس هو ٤، فنخرج:

فنحصل على:

وبما أن:

إذن:

وهذا هو نفس التكتيك عند جمع أو طرح القوى المتشابهة: نأخذ أصغر قوة مشتركة بدل حساب كل قوة إذا كان ذلك أسرع.

١٠) العامل المشترك كتكتيك للحساب السريع

العامل المشترك ليس للتحليل الجبري فقط؛ يمكن استخدامه لتسريع الحساب العددي أيضًا.

مثال

أوجد بسرعة:

كل الأعداد من مضاعفات ١١:

هذه أسرع من جمع الأعداد الكبيرة واحدًا واحدًا.

مثال آخر

وعند تكرار الحد نفسه، يمكن اعتباره عاملًا مشتركًا مكررًا.

١١) العامل المشترك مع الإشارة السالبة

إذا كانت جميع الحدود سالبة، فمن الأفضل غالبًا إخراج عامل سالب حتى تصبح الحدود داخل القوس موجبة وأسهل.

مثال:

مثال بإشارتين مختلفتين

تحقق بالتوزيع:

١٢) العامل المشترك هو عكس التوزيع

هذه العلاقة مهمة جدًا لفهم الدرسين معًا.

في التوزيع:

وفي العامل المشترك نعكس العملية:

إذا كنت غير متأكد من تحليلك، وزّع العامل على القوس؛ إذا عاد المقدار الأصلي فالحل صحيح.

١٣) هل يجب إخراج أكبر عامل مشترك؟

يمكن إخراج عامل أصغر ويكون التعبير صحيحًا، لكن التحليل الأفضل والأكمل هو إخراج أكبر عامل مشترك.

مثال:

هذه مساواة صحيحة، لكنها ليست التحليل الكامل؛ لأن ٣ ليس أكبر عامل مشترك.

الأفضل:

١٤) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — عامل عددي

حلّل:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٢ — عدد ومتغير

حلّل:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٣ — أكثر من متغير

حلّل:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٤ — إشارة سالبة

حلّل:

أ)
ب)
ج)
د)

١٥) سؤال قدرات بصيغة أذكى

أي التحليلات التالية يمثل التحليل الكامل بأكبر عامل مشترك للمقدار:

أ)
ب)
ج)
د)

١٦) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: إخراج عامل ليس موجودًا في كل الحدود.
العامل المشترك يجب أن يقسم كل حد.

الخطأ الثاني: إخراج عامل صحيح لكنه ليس الأكبر.
في التحليل الكامل نبحث عن أكبر عامل مشترك.

الخطأ الثالث: نسيان المتغير المشترك.
في العامل الأكبر هو وليس ٤ فقط.

الخطأ الرابع: عند اختلاف الأسس نأخذ الأكبر.
الصحيح أن نأخذ أصغر أس موجود في جميع الحدود.

الخطأ الخامس: نسيان العدد ١ داخل القوس.
إذا كان أحد الحدود يساوي العامل المشترك نفسه، فإن ناتج قسمته عليه يساوي ١.

الخطأ السادس: عدم قسمة كل حد على العامل الذي أُخرج.

الخطأ السابع: الخطأ في الإشارات عند إخراج عامل سالب.

الخطأ الثامن: اعتبار العامل المشترك والتوزيع فكرتين منفصلتين تمامًا.
هما عمليتان عكسيتان، وهذه العلاقة تساعدك على التحقق من الإجابة.

١٧) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: ابدأ دائمًا بالأرقام، ثم المتغيرات، ثم الأسس.

التكتيك الثاني: في المتغيرات ذات الأسس المختلفة، ضع خطًا ذهنيًا تحت أصغر أس مشترك؛ غالبًا هو ما سيخرج من القوس.

التكتيك الثالث: إذا كانت كل الحدود سالبة، أخرج السالب غالبًا لتصبح الإشارات داخل القوس أسهل.

التكتيك الرابع: إذا شككت في الإجابة، وزّع العامل على القوس. هذه أسرع طريقة للتحقق.

التكتيك الخامس: في الاختيارات قد تكون أكثر من إجابة مكافئة للمقدار، لكن إذا طلب التحليل الكامل فاختر التي أخرجت أكبر عامل مشترك.

التكتيك السادس: في جمع القوى ذات الأساس نفسه، إخراج القوة ذات أصغر أس قد يكون أسرع من حساب القيم الكبيرة.

التكتيك السابع: في جمع أعداد كبيرة تشترك في عامل واضح مثل ١١ أو ٢٥ أو ١٠٠، أخرج العامل أولًا إذا كان سيجعل الجمع الداخلي سهلًا.

التكتيك الثامن: عند وجود عدة حدود، لا تفترض أن المتغير عامل مشترك قبل التأكد من وجوده في كل حد.

١٨) تدريب متدرج

سؤال ١ — عامل عددي

حلّل:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٢ — عدد ومتغير

حلّل:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٣ — أصغر أس

حلّل:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٤ — ثلاثة حدود

حلّل:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٥ — ظهور الواحد

حلّل:

أ)
ب)
ج)
د) جميع ما سبق صور مكافئة، لكن أ هي التحليل الكامل بأكبر عامل مشترك

سؤال ٦ — قوى متشابهة

بسّط بأخذ عامل مشترك:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٧ — حساب سريع

أوجد بأسرع طريقة:

أ) ٢٤٢
ب) ٢٥٣
ج) ٢٦٤
د) ٢٧٥

سؤال ٨ — عامل سالب

حلّل:

أ)
ب)
ج)
د)

١٩) ملخص الدرس

لإيجاد العامل المشترك الأكبر: ابدأ بالقاسم المشترك الأكبر للمعاملات، ثم خذ المتغيرات الموجودة في كل الحدود، وإذا اختلفت الأسس فخذ أصغر أس مشترك.

تذكّر أن إخراج العامل المشترك هو عكس التوزيع، ولذلك يمكنك التحقق بإعادة التوزيع.

ولا تقتصر الفكرة على التحليل الجبري؛ فهي تكتيك مهم أيضًا في جمع الأعداد الكبيرة وفي جمع أو طرح القوى ذات الأساس نفسه عندما يكون إخراج العامل المشترك أسرع من الحساب المباشر.

القاعدة الذهبية: العامل الذي تخرجه يجب أن يقسم كل حد، وكل حد داخل القوس هو ناتج قسمة الحد الأصلي على ذلك العامل.