دليل منهج اختبار القدرات
الشغل والزمن المشترك
اقرأ الفكرة والمثال، ثم تابع الشرح على مهل.
الفكرة
في مسائل الشغل المشترك لا نجمع الأزمنة، بل نجمع معدلات الإنجاز. إذا كان شخص ينجز العمل كاملًا في ن ساعات، فمعدله في الساعة = ١/ن من العمل. إذا عمل شخصان في الاتجاه نفسه نجمع المعدلين، وإذا كان أحدهما يعاكس الآخر مثل صنبور يملأ وآخر يفرغ فنطرح المعدلين.
مثال
عامل ينجز عملًا في ٤ ساعات وآخر في ٦ ساعات. معدلهما معًا = ١/٤ + ١/٦ = ٥/١٢ من العمل في الساعة، ولذلك الزمن المشترك = ١ ÷ (٥/١٢) = ١٢/٥ ساعة = ساعتان و٢٤ دقيقة.
الشرح المفصّل
١) الفكرة الأساسية: حوّل الزمن إلى معدل
إذا كان شخص ينجز العمل كاملًا في ن ساعات، فإنه في ساعة واحدة ينجز:
من العمل.
مثال
عامل ينجز العمل في ٥ ساعات:
من العمل في الساعة.
٢) لماذا لا نجمع الأزمنة؟
إذا كان الأول ينجز العمل في ٤ ساعات والثاني في ٦ ساعات، فليس الزمن معًا:
لأنهما يعملان في الوقت نفسه.
الذي يُجمع هو مقدار ما ينجزانه في الساعة، أي المعدلات.
٣) معدل العمل المشترك
إذا كان الأول ينجز العمل في أ ساعات، والثاني في ب ساعات:
ثم:
٤) القانون المختصر لعاملين
بتبسيط القانون السابق:
ويصلح عندما يكون العاملان ينجزان العمل نفسه وفي الاتجاه نفسه.
٥) مثال مباشر
عامل ينجز عملًا في ٤ ساعات، وآخر في ٦ ساعات.
ساعة.
ساعة.
والجزء العشري:
دقيقة.
إذن الزمن = ساعتان و٢٤ دقيقة.
٦) فحص سريع للمنطق
إذا كان عاملان يساعد أحدهما الآخر، فالزمن المشترك يجب أن يكون أقل من زمن العامل الأسرع.
مثال
الأول في ٥ ساعات والثاني في ١٠ ساعات.
الزمن معًا يجب أن يكون أقل من ٥ ساعات.
إذا حصلت على ٧ ساعات مثلًا، فالإجابة غير منطقية.
٧) إذا كان العاملان متساويين
إذا كان عاملان متساويان، وكل واحد ينجز العمل في ن ساعات، فهما معًا ينجزانه في:
مثال
كل واحد ينجز العمل في ٨ ساعات:
ساعات.
٨) عدة عمال متساوين
إذا كان كل عامل ينجز العمل في ن ساعات، وكان عدد العمال المتساوين ك:
مثال
٤ عمال متساوين، كل واحد ينجز العمل وحده في ١٢ ساعة:
ساعات.
٩) أكثر من عامل بسرعات مختلفة
إذا كان لدينا عدة عمال بسرعات مختلفة، نجمع جميع المعدلات:
مثال
ثلاثة عمال ينجزون العمل منفردين في ٦، ٣، ٢ ساعة:
إذن ينجزون العمل كاملًا في ساعة واحدة.
١٠) مقدار العمل المنجز خلال زمن معين
إذا كان معدل العامل م، وعمل لمدة ز:
وإذا كان ينجز العمل كاملًا في ن ساعات:
مثال
عامل ينجز العمل في ٨ ساعات وعمل ساعتين:
من العمل.
١١) الجزء المتبقي من العمل
العمل الكامل نمثله بالعدد ١.
إذا أُنجز جزء مقداره ج:
مثال
إذا أُنجز ثلث العمل:
يتبقى ثلثا العمل.
١٢) بدأ أحدهما وحده ثم انضم الآخر
هذه من أهم صور الأسئلة.
الخطوات:
احسب ما أنجزه الأول وحده.
اطرحه من العمل الكامل.
احسب معدل الاثنين معًا.
اقسم الجزء المتبقي على المعدل المشترك.
١٣) مثال على الانضمام المتأخر
عامل ينجز العمل في ٦ ساعات. عمل وحده ساعتين، ثم انضم إليه عامل ينجز العمل في ٣ ساعات.
ما أنجزه الأول:
الباقي:
معدلهما معًا:
زمن إنجاز الباقي:
ساعة.
الزمن الكلي:
أي ٣ ساعات و٢٠ دقيقة.
١٤) إذا عمل الاثنان ثم خرج أحدهما
نعكس الفكرة السابقة:
نحسب ما أُنجز خلال فترة العمل المشترك.
ثم نحسب الباقي.
ويكمل العامل المتبقي وحده.
مثال
عاملان ينجزان العمل منفردين في ٦ و٣ ساعات. عملا معًا ساعة واحدة ثم غادر العامل الأسرع.
المعدل المشترك:
أُنجز في ساعة:
يبقى نصف العمل، والعامل الأبطأ معدله ١/٦:
ساعات إضافية.
الزمن الكلي = ٤ ساعات.
١٥) إيجاد زمن عامل مجهول
إذا عُرف زمن عامل وزمنهما معًا، نطرح معدل العامل المعلوم من المعدل المشترك.
مثال
عامل ينجز العمل في ٦ ساعات، ومع عامل آخر ينجزانه في ٤ ساعات.
المعدل المشترك:
معدل الأول:
معدل الثاني:
إذن الثاني ينجز العمل وحده في ١٢ ساعة.
١٦) صيغة مختصرة لإيجاد الزمن المجهول
إذا كان عامل ينجز العمل في أ ساعات، ويعمل مع عامل مجهول الزمن في م ساعات، فإن:
ومنها:
مع ضرورة أن يكون الزمن المشترك م أقل من أ.
١٧) مسائل الصنابير هي نفسها مسائل العمال
الصنبور الذي يملأ خزانًا كاملًا في ن ساعات معدله:
خزان في الساعة.
إذا كان صنبوران يملآن الخزان معًا، نجمع معدلي الملء.
مثال
صنبور يملأ في ٤ ساعات وآخر في ٦ ساعات:
خزان في الساعة.
الزمن:
ساعة.
١٨) صنبور يملأ وآخر يفرغ
إذا كان أحدهما يملأ والآخر يفرغ، نطرح المعدلات:
مثال
صنبور يملأ في ٤ ساعات، وآخر يفرغ في ٦ ساعات:
إذن الخزان يمتلئ في ١٢ ساعة إذا بدأ فارغًا وظلت المعدلات ثابتة.
١٩) متى لا يمتلئ الخزان؟
إذا كان معدل التفريغ مساويًا لمعدل الملء، فالمعدل الصافي = صفر، ولن يرتفع مستوى الماء.
وإذا كان معدل التفريغ أكبر من معدل الملء، فلن يمتلئ خزان فارغ بهذه الحالة؛ لأن الصافي ليس موجبًا.
مثال
ملء في ٦ ساعات وتفريغ في ٣ ساعات:
الصافي سلبي، فلا يمكن ملء خزان فارغ مع استمرار الصنبورين بهذه المعدلات.
٢٠) خزان ممتلئ جزئيًا من البداية
إذا كان جزء من الخزان ممتلئًا أصلًا، فلا نحسب زمن ملء خزان كامل.
نحسب الجزء المتبقي ثم نقسمه على المعدل الصافي.
مثال
الخزان ممتلئ ربعه، وصنبور يملأ الخزان كاملًا في ٦ ساعات ولا يوجد تفريغ.
الباقي:
الزمن:
أي ٤ ساعات ونصف.
٢١) إذا كانت كمية العمل معلومة بوحدات
ليس ضروريًا أن نمثل العمل بالعدد ١ إذا أعطى السؤال كمية حقيقية.
يمكن استخدام:
مثال
آلة تنتج ١٢٠ قطعة في ٦ ساعات.
معدلها:
قطعة في الساعة.
٢٢) جمع معدلات إنتاج بوحدات حقيقية
إذا كانت آلتان تنتجان ٢٠ و٣٠ قطعة في الساعة، فمعًا:
قطعة في الساعة.
لإنتاج ٢٠٠ قطعة:
ساعات.
٢٣) نسبة الكفاءة والزمن
لإنجاز العمل نفسه، المعدل يتناسب عكسيًا مع الزمن.
إذا كان العامل أ أسرع من ب بمعدل الضعف، فإنه يحتاج نصف الزمن.
مثال
إذا كان ب ينجز العمل في ١٠ ساعات، وكان أ ضعف سرعته:
ساعات.
٢٤) إذا كانت كفاءة عاملين بنسبة معلومة
إذا كانت معدلات أ وب بنسبة:
فأزمنتهما للعمل نفسه تكون بالنسبة العكسية:
لأن الأسرع يحتاج زمنًا أقل.
٢٥) إضافة عامل لا تعني دائمًا نصف الزمن
ينخفض الزمن إلى النصف فقط إذا أضفت عاملًا آخر مساويًا تمامًا للعامل الأول.
إذا كان العامل الجديد أسرع أو أبطأ، يجب جمع المعدلات.
٢٦) تحويل الساعات العشرية إلى دقائق
الجزء الصحيح = ساعات.
نضرب الجزء العشري في ٦٠ للحصول على الدقائق.
مثال
إذن ١٫٧٥ ساعة = ساعة و٤٥ دقيقة.
٢٧) لا تخلط بين ٢٫٣ ساعة وساعتين و٣٠ دقيقة
إذن:
وليست ساعتين و٣٠ دقيقة.
٢٨) طريقة الوحدات المشتركة بدل الكسور
أحيانًا يمكن افتراض كمية عمل مناسبة لإلغاء الكسور.
مثال
عامل ينجز العمل في ٤ ساعات وآخر في ٦ ساعات.
نفترض أن العمل = ١٢ وحدة.
الأول ينجز في الساعة:
وحدات.
الثاني:
وحدتين.
معًا:
وحدات في الساعة.
الزمن:
ساعة.
٢٩) متى تكون طريقة الوحدات المشتركة أسرع؟
إذا كانت الأزمنة أعدادًا صحيحة صغيرة، اختر للعمل مقدارًا يساوي م.م.أ لهذه الأزمنة.
فتتحول المعدلات إلى أعداد صحيحة سهلة بدل الكسور.
مثال
الأزمنة ٣ و٤ ساعات.
نختار العمل = ١٢ وحدة.
المعدلان:
و:
٣٠) أمثلة محلولة مع اختيارات
مثال ١ — عاملان
عامل ينجز عملًا في ٦ ساعات، وآخر في ٣ ساعات. كم يستغرقان معًا؟
أ) ساعة
ب) ساعتان
ج) ٣ ساعات
د) ٩ ساعات
الإجابة الصحيحة: ب.
مثال ٢ — صنبوران
صنبور يملأ خزانًا في ٥ ساعات، وآخر في ١٠ ساعات. كم يستغرقان معًا؟
أ) ساعتان
ب) ١٠/٣ ساعة
ج) ٥ ساعات
د) ١٥ ساعة
الإجابة الصحيحة: ب.
مثال ٣ — ملء وتفريغ
صنبور يملأ خزانًا في ٣ ساعات، وآخر يفرغه في ٦ ساعات. إذا فُتحا معًا والخزان فارغ، فكم يستغرق حتى يمتلئ؟
أ) ٣ ساعات
ب) ٤ ساعات
ج) ٥ ساعات
د) ٦ ساعات
إذن الزمن = ٦ ساعات.
الإجابة الصحيحة: د.
مثال ٤ — العامل المجهول
عامل ينجز العمل في ٦ ساعات، ومع عامل آخر ينجزانه في ٤ ساعات. كم يستغرق الآخر وحده؟
أ) ٨ ساعات
ب) ١٠ ساعات
ج) ١٢ ساعة
د) ٢٤ ساعة
الإجابة الصحيحة: ج.
٣١) سؤال قدرات بصيغة أذكى
عامل ينجز عملًا في ٦ ساعات، وآخر في ٤ ساعات. عمل الأول وحده ساعتين، ثم انضم إليه الثاني. كم الزمن الكلي؟
أ) ٣ ساعات
ب) ٣ ساعات و١٢ دقيقة
ج) ٣ ساعات و٣٦ دقيقة
د) ٤ ساعات
الأول أنجز:
الباقي:
معدلهما معًا:
زمن الباقي:
ساعة = ساعة و٣٦ دقيقة.
الزمن الكلي = ٣ ساعات و٣٦ دقيقة.
الإجابة الصحيحة: ج.
٣٢) الأخطاء الشائعة
الخطأ الأول: جمع الأزمنة بدل جمع المعدلات.
الخطأ الثاني: نسيان أن الزمن المشترك لعاملين متعاونين يجب أن يكون أقل من زمن الأسرع.
الخطأ الثالث: جمع معدل التفريغ مع الملء بدل طرحه.
الخطأ الرابع: إذا بدأ شخص وحده، نسيان حساب الجزء الذي أنجزه قبل انضمام الآخر.
الخطأ الخامس: اعتبار ١/ن زمنًا؛ هو معدل العمل في وحدة زمن.
الخطأ السادس: استخدام قانون أب/(أ+ب) في حالة الملء والتفريغ؛ هذا القانون المختصر للجمع فقط.
الخطأ السابع: تحويل الجزء العشري من الساعة إلى دقائق بطريقة خاطئة.
الخطأ الثامن: افتراض أن إضافة أي عامل تخفض الزمن للنصف حتى لو اختلفت كفاءته.
٣٣) تكتيكات القدرات
التكتيك الأول: الزمن ن ← المعدل ١/ن.
التكتيك الثاني: يعملان معًا في الاتجاه نفسه ← اجمع المعدلات.
التكتيك الثالث: أحدهما يعاكس الآخر ← اطرح المعدلات.
التكتيك الرابع: عاملان فقط بزمنين أ وب ← .
التكتيك الخامس: عمال متساوون ← زمن الفرد ÷ عدد العمال.
التكتيك السادس: انضم أو غادر عامل أثناء العمل ← قسم المسألة إلى مراحل.
التكتيك السابع: الأزمنة صغيرة؟ افترض كمية عمل تساوي م.م.أ للأزمنة لتجنب الكسور.
التكتيك الثامن: تحقّق من منطق الجواب قبل اعتماد الاختيار.
٣٤) تدريب متدرج
سؤال ١
عامل ينجز عملًا في ٤ ساعات، وآخر في ١٢ ساعة. كم يستغرقان معًا؟
أ) ساعتان
ب) ٣ ساعات
ج) ٤ ساعات
د) ٨ ساعات
الإجابة: ب.
سؤال ٢
عامل ينجز العمل في ٥ ساعات، وآخر في ١٠ ساعات. كم يستغرقان معًا؟
أ) ٥/٢ ساعة
ب) ١٠/٣ ساعة
ج) ٥ ساعات
د) ١٥ ساعة
الإجابة: ب.
سؤال ٣
عاملان متساويان، ينجز كل واحد العمل في ١٢ ساعة. كم يستغرقان معًا؟
أ) ٤ ساعات
ب) ٦ ساعات
ج) ٨ ساعات
د) ١٢ ساعة
الإجابة: ب.
سؤال ٤
٣ عمال متساوين، ينجز كل واحد العمل في ١٥ ساعة. كم يستغرقون معًا؟
أ) ٣ ساعات
ب) ٥ ساعات
ج) ٧٫٥ ساعات
د) ١٢ ساعة
الإجابة: ب.
سؤال ٥
ثلاثة عمال ينجزون العمل منفردين في ٦، ٤، ١٢ ساعة. كم يستغرقون معًا؟
أ) ساعة
ب) ساعتان
ج) ٣ ساعات
د) ٤ ساعات
إذن الزمن = ساعتان.
الإجابة: ب.
سؤال ٦
عامل ينجز العمل في ٨ ساعات. كم ينجز في ٣ ساعات؟
أ) ١/٨
ب) ١/٤
ج) ٣/٨
د) ٥/٨
الإجابة: ج.
سؤال ٧
عامل ينجز العمل في ٦ ساعات، وعمل وحده ساعتين. كم تبقى من العمل؟
أ) ١/٣
ب) ١/٢
ج) ٢/٣
د) ٥/٦
أنجز ١/٣، لذلك:
الإجابة: ج.
سؤال ٨
صنبور يملأ خزانًا في ٤ ساعات وآخر في ٨ ساعات. كم يستغرقان معًا؟
أ) ٨/٣ ساعة
ب) ٣ ساعات
ج) ٤ ساعات
د) ٦ ساعات
الزمن:
ساعة. الإجابة: أ.
سؤال ٩
صنبور يملأ خزانًا في ٤ ساعات وآخر يفرغه في ٨ ساعات. كم يستغرق ملء الخزان إذا فُتحا معًا؟
أ) ٤ ساعات
ب) ٦ ساعات
ج) ٨ ساعات
د) ١٢ ساعة
الإجابة: ج.
سؤال ١٠
عامل ينجز العمل في ٦ ساعات، ومع عامل آخر ينجزانه في ٤ ساعات. كم يحتاج الآخر وحده؟
أ) ٨ ساعات
ب) ١٠ ساعات
ج) ١٢ ساعة
د) ٢٤ ساعة
الإجابة: ج.
سؤال ١١
آلة تنتج ١٥ قطعة في الساعة وأخرى ٢٥ قطعة في الساعة. كم ساعة تحتاجان لإنتاج ٢٠٠ قطعة معًا؟
أ) ٤ ساعات
ب) ٥ ساعات
ج) ٦ ساعات
د) ٨ ساعات
المعدل المشترك:
الإجابة: ب.
سؤال ١٢
عامل أ ضعف سرعة عامل ب. إذا كان ب ينجز العمل في ١٤ ساعة، فكم يحتاج أ؟
أ) ٤ ساعات
ب) ٧ ساعات
ج) ١٤ ساعة
د) ٢٨ ساعة
الإجابة: ب.
سؤال ١٣
خزان ممتلئ ربعه، وصنبور يملأ الخزان كاملًا في ٦ ساعات. كم يحتاج لإكماله؟
أ) ٣ ساعات
ب) ٤ ساعات
ج) ٤٫٥ ساعات
د) ٦ ساعات
المتبقي = ٣/٤.
الإجابة: ج.
سؤال ١٤
عاملان ينجزان العمل منفردين في ٦ و٣ ساعات. عملا معًا ساعة ثم غادر العامل الذي ينجز العمل في ٣ ساعات. كم الزمن الكلي لإنجاز العمل؟
أ) ٣ ساعات
ب) ٤ ساعات
ج) ٥ ساعات
د) ٦ ساعات
في الساعة المشتركة ينجزان:
يبقى نصف العمل، ويكمله العامل الأول في:
ساعات إضافية.
الزمن الكلي:
الإجابة: ب.
٣٥) ملخص الدرس
إذا كان العامل ينجز العمل في ن ساعات:
عاملان في الاتجاه نفسه:
وزمنهما معًا:
أما إذا كان أحد المعدلين يعاكس الآخر، مثل الملء والتفريغ، فنطرح.
وفي المسائل متعددة المراحل: احسب الجزء المنجز في كل مرحلة، ثم الباقي، ثم انتقل إلى المرحلة التالية.
أهم قاعدة: حوّل الزمن إلى معدل قبل أن تجمع أو تطرح.