١) ما هو الرباعي الدائري؟

الرباعي الدائري هو شكل رباعي تقع رؤوسه الأربعة على محيط دائرة واحدة.

أي أن الدائرة تمر بالرؤوس الأربعة جميعها.

٢) أهم قاعدة في الرباعي الدائري

كل زاويتين متقابلتين في الرباعي الدائري مجموعهما:

إذا كان الرباعي أ ب ج د:

و:

٣) كيف أعرف الزاويتين المتقابلتين؟

الزاويتان المتقابلتان هما زاويتان لا تشتركان في ضلع.

في الرباعي أ ب ج د:

أ تقابل ج.

وب تقابل د.

٤) إيجاد زاوية مقابلة مباشرة

إذا كانت إحدى الزوايا = أ، فإن الزاوية المقابلة لها:

مثال

زاوية في رباعي دائري = ١١٥°.

٥) زوجا الزوايا المتقابلة

في الرباعي الدائري لا توجد علاقة واحدة فقط، بل زوجان من الزوايا المتقابلة.

إذا عرفت زاويتين متجاورتين، تستطيع إيجاد الزاويتين المقابلتين لهما كلٌّ على حدة.

مثال

إذا كانت زاوية أ = ٨٠°، وزاوية ب = ١١٠°:

٦) مجموع زوايا الرباعي

أي شكل رباعي، سواء كان دائريًا أم لا، مجموع زواياه الداخلية:

أما الخاصية الإضافية للرباعي الدائري فهي أن كل زوج من الزوايا المتقابلة مجموعه ١٨٠°.

٧) الفرق بين الرباعي العادي والرباعي الدائري

في أي رباعي: مجموع الزوايا الأربع = ٣٦٠°.

في الرباعي الدائري: كل زاويتين متقابلتين مجموعهما = ١٨٠°.

لذلك لا تستخدم قاعدة ١٨٠° للزوايا المتقابلة إلا إذا عرفت أن الرباعي دائري.

٨) متى يكون الرباعي دائريًا؟

إذا كان في شكل رباعي زوج من الزوايا المتقابلة مجموعهما ١٨٠°، فإن الرباعي دائري.

مثال

زاويتان متقابلتان قياسهما ٨٠° و١٠٠°.

إذن الرباعي دائري.

٩) يكفي فحص زوج واحد من الزوايا المتقابلة

إذا كان زوج واحد من الزوايا المتقابلة مجموعه ١٨٠°، فإن الزوج الآخر سيكون مجموعه ١٨٠° أيضًا؛ لأن مجموع زوايا الرباعي كلها ٣٦٠°.

مثال

إذا كان:

فإن:

١٠) الزاوية الخارجية في الرباعي الدائري

إذا مددنا أحد أضلاع الرباعي الدائري، فإن الزاوية الخارجية عند أحد الرؤوس تساوي الزاوية الداخلية المقابلة لها.

مثال

إذا كانت الزاوية الداخلية المقابلة = ٧٥°، فالزاوية الخارجية = ٧٥°.

١١) لماذا تساوي الزاوية الخارجية الزاوية المقابلة؟

الزاوية الخارجية والزاوية الداخلية المجاورة لها مجموعهما ١٨٠°.

وفي الرباعي الدائري، الزاوية الداخلية المجاورة لها والزاوية الداخلية المقابلة مجموعهما أيضًا ١٨٠°.

لذلك الزاوية الخارجية = الزاوية الداخلية المقابلة.

١٢) معادلة من زاويتين متقابلتين

إذا كانت الزاويتان المتقابلتان تحتويان على متغير، اجمعهما وساوِ الناتج بـ ١٨٠°.

مثال

زاويتان متقابلتان:

و:

إذن:

١٣) مثال جبري آخر

زاويتان متقابلتان:

و:

نكتب:

١٤) إذا كانت زاويتان متقابلتان متساويتين

إذا كانت زاويتان متقابلتان في رباعي دائري متساويتين، فإن كل واحدة منهما تساوي ٩٠°.

لأن:

إذن:

١٥) المستطيل والرباعي الدائري

كل مستطيل يمكن أن يكون رباعيًا دائريًا؛ لأن زواياه الأربع ٩٠°.

وبالتالي كل زاويتين متقابلتين:

١٦) المربع والرباعي الدائري

كل مربع مستطيل، ولذلك يمكن رسم دائرة تمر برؤوسه الأربعة.

إذن المربع رباعي دائري أيضًا.

١٧) متوازي الأضلاع متى يكون دائريًا؟

في متوازي الأضلاع الزاويتان المتقابلتان متساويتان.

ولكي يكون دائريًا يجب أن يكون مجموعهما ١٨٠°.

إذن كل واحدة منهما يجب أن تكون ٩٠°.

لذلك:

متوازي الأضلاع يكون دائريًا إذا كان مستطيلًا.

١٨) المعين متى يكون دائريًا؟

المعين متوازي أضلاع.

ولكي يكون معينًا دائريًا يجب أن تكون زواياه قائمة، فيصبح مربعًا.

لذلك:

المعين يكون دائريًا إذا كان مربعًا.

١٩) لا تشترط تساوي الأضلاع

كون الرباعي دائريًا لا يعني أن أضلاعه الأربعة متساوية.

الشرط الأساسي يتعلق بموقع الرؤوس على الدائرة وبعلاقة الزوايا المتقابلة.

٢٠) لا تشترط تساوي القطرين في الرباعي الدائري العام

لا تفترض أن قطري أي رباعي دائري متساويان لمجرد أنه مرسوم داخل دائرة.

قد يحدث تساوي القطرين في حالات خاصة مثل المستطيل والمربع، لكنه ليس قاعدة عامة لكل رباعي دائري.

٢١) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — زاوية مقابلة

في رباعي دائري، إحدى الزوايا ٧٠°. ما قياس الزاوية المقابلة لها؟

أ) ٧٠°
ب) ٩٠°
ج) ١١٠°
د) ١٨٠°

مثال ٢ — التحقق من رباعي دائري

أي زوج يمكن أن يمثل زاويتين متقابلتين في رباعي دائري؟

أ) ٧٠° و٨٠°
ب) ٩٥° و٨٥°
ج) ١٠٠° و١٠٠°
د) ٦٠° و٩٠°

مثال ٣ — معادلة

زاويتان متقابلتان في رباعي دائري قياسهما ٢س و س+٦٠. ما قيمة س؟

أ) ٣٠
ب) ٤٠
ج) ٥٠
د) ٦٠

مثال ٤ — زاوية خارجية

في رباعي دائري، الزاوية الداخلية المقابلة لزاوية خارجية = ٦٨°. فما قياس الزاوية الخارجية؟

أ) ٦٨°
ب) ٩٠°
ج) ١١٢°
د) ١٨٠°

٢٢) سؤال قدرات بصيغة أذكى

رباعي دائري أ ب ج د، وفيه زاوية أ = ٧٥° وزاوية ب = ١٢٠°. فما قياس ج ود؟

أ) ج = ٧٥°، د = ١٢٠°
ب) ج = ١٠٥°، د = ٦٠°
ج) ج = ٦٠°، د = ١٠٥°
د) ج = ١٢٠°، د = ٧٥°

٢٣) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: استخدام قاعدة ١٨٠° مع زاويتين متجاورتين بدل المتقابلتين.

الخطأ الثاني: افتراض أن كل رباعي عادي رباعي دائري.

الخطأ الثالث: الاعتقاد أن الرباعي الدائري يجب أن تكون أضلاعه متساوية.

الخطأ الرابع: الاعتقاد أن قطري الرباعي الدائري متساويان دائمًا.

الخطأ الخامس: الخلط بين مجموع زوايا الرباعي ٣٦٠° وقاعدة الزاويتين المتقابلتين ١٨٠°.

الخطأ السادس: نسيان أن الزاوية الخارجية تساوي الزاوية الداخلية المقابلة لها.

٢٤) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: عبارة «رباعي دائري» ← اكتب فورًا: الزاويتان المتقابلتان مجموعهما ١٨٠°.

التكتيك الثاني: زاوية معلومة ← المقابلة = ١٨٠° ناقص الزاوية.

التكتيك الثالث: زاويتان متقابلتان فيهما س ← اجمعهما وساوِ الناتج بـ ١٨٠°.

التكتيك الرابع: للتحقق هل رباعي دائري، افحص زوجًا من الزوايا المتقابلة.

التكتيك الخامس: زاوية خارجية ← تساوي الزاوية الداخلية المقابلة.

التكتيك السادس: زاويتان متقابلتان متساويتان في رباعي دائري ← كل منهما ٩٠°.

التكتيك السابع: مستطيل أو مربع ← يمكن اعتباره رباعيًا دائريًا.

٢٥) تدريب متدرج

سؤال ١

في رباعي دائري، زاوية تساوي ٦٠°. ما الزاوية المقابلة؟

أ) ٦٠°
ب) ٩٠°
ج) ١٢٠°
د) ١٨٠°

سؤال ٢

في رباعي دائري، زاوية تساوي ١٣٥°. ما الزاوية المقابلة؟

أ) ٤٥°
ب) ٥٥°
ج) ٦٥°
د) ١٣٥°

سؤال ٣

أي زوج من الزوايا المتقابلة يصلح لرباعي دائري؟

أ) ٤٠° و١٠٠°
ب) ٧٥° و١٠٥°
ج) ٩٠° و١٢٠°
د) ٦٠° و٨٠°

سؤال ٤

زاويتان متقابلتان في رباعي دائري قياسهما س و٢س. فما س؟

أ) ٤٥°
ب) ٦٠°
ج) ٩٠°
د) ١٢٠°

سؤال ٥

زاويتان متقابلتان قياسهما ٣س−١٠ و٢س+٤٠. فما س؟

أ) ٢٠
ب) ٢٥
ج) ٣٠
د) ٣٥

سؤال ٦

في رباعي دائري، زاويتان متقابلتان متساويتان. ما قياس كل منهما؟

أ) ٤٥°
ب) ٦٠°
ج) ٩٠°
د) ١٨٠°

سؤال ٧

في رباعي دائري، زاوية خارجية = ٨٠°. ما الزاوية الداخلية المقابلة لها؟

أ) ٨٠°
ب) ١٠٠°
ج) ١٦٠°
د) ١٨٠°

سؤال ٨

أي الأشكال التالية يكون رباعيًا دائريًا دائمًا؟

أ) متوازي أضلاع عام
ب) معين عام
ج) مستطيل
د) شبه منحرف عام

سؤال ٩

متوازي أضلاع رباعي دائري. ما الشكل الذي يجب أن يكون عليه؟

أ) مستطيل
ب) معين غير مربع
ج) شبه منحرف
د) مثلث

سؤال ١٠

معين رباعي دائري. ما الشكل الذي يجب أن يكون عليه؟

أ) مستطيل غير مربع
ب) مربع
ج) شبه منحرف
د) لا يمكن أن يكون دائريًا

سؤال ١١

رباعي زواياه بالترتيب ٨٠°، ١١٠°، ١٠٠°، ٧٠°. هل هو دائري؟

أ) نعم
ب) لا
ج) فقط إذا تساوت أضلاعه
د) لا يمكن التحديد

سؤال ١٢

رباعي فيه زاويتان متقابلتان ٩٠° و٩٠°. ماذا نستنتج؟

أ) لا يمكن أن يكون دائريًا
ب) يمكن إثبات أنه رباعي دائري
ج) أضلاعه الأربعة متساوية بالضرورة
د) قطراه متعامدان بالضرورة

سؤال ١٣

في رباعي دائري، زاوية أ = ١٠٥° وزاوية ب = ٨٥°. فما زاوية ج المقابلة لأ؟

أ) ٧٥°
ب) ٨٥°
ج) ٩٥°
د) ١٠٥°

سؤال ١٤

أي عبارة غير صحيحة دائمًا عن الرباعي الدائري؟

أ) رؤوسه الأربعة على دائرة واحدة
ب) الزاويتان المتقابلتان مجموعهما ١٨٠°
ج) الزاوية الخارجية تساوي الداخلية المقابلة
د) قطراه متساويان

٢٦) ملخص الدرس

الرباعي الدائري هو رباعي تقع رؤوسه الأربعة على محيط دائرة واحدة.

أهم قاعدة:

والعكس مفيد أيضًا: إذا كان في رباعي زوج من الزوايا المتقابلة مجموعهما ١٨٠°، فإن الرباعي دائري.

كما أن الزاوية الخارجية في الرباعي الدائري تساوي الزاوية الداخلية المقابلة لها. عند حل أسئلة القدرات، حدّد الزوايا المتقابلة أولًا ثم طبّق قاعدة ١٨٠° مباشرة.