١) الفكرة الأساسية

التناسب العكسي يعني أن كميتين تتحركان في اتجاهين متعاكسين.
إذا زادت الكمية الأولى، نقصت الكمية الثانية. وإذا نقصت الكمية الأولى، زادت الكمية الثانية.

مثال بسيط: إذا كان إنجاز عمل يحتاج إلى ٦ عمال خلال ١٠ أيام، فإن زيادة عدد العمال تجعل عدد الأيام أقل.
أي أن العلاقة بين عدد العمال وعدد الأيام علاقة عكسية.

٢) متى أستخدم التناسب العكسي؟

نستخدم التناسب العكسي عندما يكون المطلوب إنجاز نفس العمل أو قطع نفس المسافة أو ملء نفس الخزان، لكن يتغير عدد الأشخاص أو السرعة أو عدد الآلات.
غالبًا تظهر في السؤال عبارات مثل: نفس العمل، نفس المسافة، نفس المهمة، ينجز العمل، يستغرق، خلال كم يوم، كم عاملًا نحتاج؟

مثال سريع: إذا كان ٤ عمال ينجزون عملًا في ١٢ يومًا، فكم يومًا يحتاج ٨ عمال لإنجاز العمل نفسه؟
عدد العمال زاد، إذن عدد الأيام سينقص.
بما أن عدد العمال تضاعف من ٤ إلى ٨، فإن الزمن يصبح نصفه:

١٢ ÷ ٢ = ٦

إذن يحتاجون إلى ٦ أيام.

٣) الفرق بين التناسب الطردي والعكسي

في التناسب الطردي: الكميتان تزيدان معًا أو تنقصان معًا.
مثال: كلما زاد عدد الأقلام، زاد السعر.

في التناسب العكسي: واحدة تزيد والثانية تنقص.
مثال: كلما زاد عدد العمال، قلّ الوقت اللازم لإنجاز العمل نفسه.

طريقة التمييز السريعة: اسأل نفسك: إذا زادت الكمية الأولى، هل تزيد الثانية أم تنقص؟
إذا زادت معها فهي طردية. وإذا نقصت فهي عكسية.

٤) القاعدة المختصرة

في التناسب العكسي يكون حاصل الضرب ثابتًا:

مثال: عدد العمال × عدد الأيام = مقدار العمل.
إذا كان العمل نفسه ثابتًا، فإن:

٥) طريقة الحل السريعة

مثال: إذا كان ٥ عمال ينجزون عملًا في ١٢ يومًا، فكم يومًا يحتاج ١٠ عمال لإنجاز العمل نفسه؟

نكتب العلاقة:

٥ × ١٢ = ١٠ × س

إذن:

٦٠ = ١٠س

س = ٦

إذن يحتاج ١٠ عمال إلى ٦ أيام.

٦) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١

إذا كان ٣ عمال ينجزون عملًا في ٨ أيام، فكم يومًا يحتاج ٦ عمال لإنجاز العمل نفسه؟

أ) ٣
ب) ٤
ج) ٦
د) ١٢

مثال ٢

تقطع سيارة مسافة معينة بسرعة ٦٠ كم/ساعة خلال ٤ ساعات. كم ساعة تحتاج لقطع المسافة نفسها بسرعة ٨٠ كم/ساعة؟

أ) ٢
ب) ٣
ج) ٤
د) ٥

مثال ٣

إذا كان ٤ آلات تنجز عملًا في ١٥ ساعة، فكم ساعة تحتاج ٦ آلات لإنجاز العمل نفسه؟

أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٨

مثال ٤

إذا كان ١٢ عاملًا ينجزون مشروعًا في ٢٠ يومًا، فكم عاملًا نحتاج لإنجاز المشروع نفسه في ١٥ يومًا؟

أ) ١٤
ب) ١٦
ج) ١٨
د) ٢٠

٧) سؤال قدرات بصيغة أذكى

يستطيع ٩ عمال بناء سور في ١٢ يومًا. بعد أن عملوا ٤ أيام، انسحب ٣ عمال. كم يومًا إضافيًا يحتاج العمال الباقون لإكمال السور؟

أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٤

٨) مثال مهم: السرعة والزمن

تقطع سيارة مسافة من مدينة إلى أخرى بسرعة ٩٠ كم/ساعة في ساعتين. إذا أرادت قطع المسافة نفسها في ٣ ساعات، فما السرعة المطلوبة؟

أ) ٤٠
ب) ٥٠
ج) ٦٠
د) ٧٠

٩) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: التعامل مع السؤال كأنه تناسب طردي.
إذا زاد عدد العمال، لا تزيد الأيام، بل تنقص. لذلك لا نضرب بنفس اتجاه التناسب الطردي.

الخطأ الثاني: تجاهل عبارة "نفس العمل" أو "نفس المسافة".
التناسب العكسي يعتمد على أن العمل أو المسافة ثابتة. إذا تغير مقدار العمل، فلا بد من الانتباه.

الخطأ الثالث: عدم التحقق من منطق الإجابة.
إذا زاد عدد العمال من ٥ إلى ١٠، يجب أن يقل الزمن. إذا ظهر لك جواب أكبر من الزمن الأصلي، فغالبًا هناك خطأ.

الخطأ الرابع: نسيان الجزء المنجز في المسائل المركبة.
في أسئلة مثل: عملوا عدة أيام ثم نقص عدد العمال، لا تبدأ من جديد. احسب العمل المنجز أولًا، ثم المتبقي.

١٠) حيل سريعة

الحيلة الأولى: العمال × الأيام = العمل.
في مسائل العمال، استخدم مباشرة:

الحيلة الثانية: السرعة × الزمن = المسافة.
في مسائل السرعة، إذا كانت المسافة ثابتة، استخدم:

الحيلة الثالثة: إذا تضاعف عدد العمال، ينصف الزمن.
مثال: ٤ عمال ينجزون عملًا في ١٠ أيام.
٨ عمال ينجزونه في ٥ أيام.

الحيلة الرابعة: استبعد الخيار غير المنطقي.
إذا زادت السرعة، فالزمن يجب أن يقل. إذا زاد عدد العمال، فالزمن يجب أن يقل. أي خيار يخالف هذا الاتجاه غالبًا خاطئ.

١١) تدريب سريع

سؤال ١

إذا كان ٦ عمال ينجزون عملًا في ١٠ أيام، فكم يومًا يحتاج ١٢ عاملًا لإنجاز العمل نفسه؟

أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ٨

سؤال ٢

تقطع سيارة مسافة بسرعة ٥٠ كم/ساعة في ٦ ساعات. كم ساعة تحتاج إذا زادت سرعتها إلى ٧٥ كم/ساعة؟

أ) ٣
ب) ٤
ج) ٥
د) ٦

سؤال ٣

إذا كان ٨ آلات تنجز عملًا في ٩ ساعات، فكم آلة نحتاج لإنجاز العمل نفسه في ٦ ساعات؟

أ) ١٠
ب) ١١
ج) ١٢
د) ١٤

سؤال ٤

ينجز ١٠ عمال مشروعًا في ١٨ يومًا. كم يومًا يحتاج ١٥ عاملًا لإنجاز المشروع نفسه؟

أ) ١٠
ب) ١١
ج) ١٢
د) ١٥

١٢) ملخص الدرس

التناسب العكسي يعني أن إحدى الكميتين تزيد عندما تنقص الأخرى. نستخدمه غالبًا في مسائل العمال والأيام، والسرعة والزمن، والآلات وساعات العمل. القاعدة الأهم هي أن حاصل الضرب ثابت: . في الاختبار، تحقق دائمًا من منطق الإجابة: إذا زاد عدد العمال أو السرعة، فالوقت يجب أن يقل.