١) الفكرة الأساسية

الاحتمال يقيس فرصة حدوث حدث معيّن.
نكتب الاحتمال عادة على صورة كسر أو نسبة.

القانون الأساسي:

مثال: عند رمي حجر نرد، النتائج الممكنة هي:

١, ٢, ٣, ٤, ٥, ٦

عددها ٦.
إذا أردنا احتمال ظهور العدد ٤، فهناك نتيجة واحدة مطلوبة فقط.

إذن:

٢) متى أستخدم الاحتمالات؟

استخدم الاحتمالات عندما يكون السؤال عن فرصة حدوث شيء، مثل: رمي حجر نرد، سحب كرة من صندوق، اختيار طالب عشوائيًا، رمي عملة، اختيار بطاقة.

كلمات مهمة: احتمال، عشوائيًا، فرصة، سحب، اختيار، رمي، ظهور، عدم حدوث.

٣) أنواع الاحتمال

إذا كان الحدث مستحيلًا، فاحتماله:

٠

مثال: احتمال ظهور العدد ٧ عند رمي حجر نرد عادي = ٠

إذا كان الحدث مؤكدًا، فاحتماله:

١

مثال: احتمال ظهور عدد أقل من ٧ عند رمي حجر نرد عادي = ١.

أي احتمال عادي يكون بين:

٠ و ١

٤) مبدأ العد

يستخدم مبدأ العد لإيجاد عدد الطرق الممكنة عندما يتكوّن الاختيار من أكثر من خطوة.

إذا كان لدينا:

• أ طرق للاختيار الأول

• ب طرق للاختيار الثاني

فإن:

عدد الطرق الكلي = أ × ب

وإذا كانت هناك ثلاث خطوات:

عدد الطرق = عدد طرق الأولى × عدد طرق الثانية × عدد طرق الثالثة

وهكذا.

مثال

لدى طالب ٣ قمصان و٢ سروال.

بكم طريقة مختلفة يمكنه اختيار قميص وسروال؟

لكل قميص يوجد خياران للسروال، لذلك:

٣ × ٢ = ٦

الإجابة: ٦ طرق

مثال آخر

مطعم يتيح اختيار:

• ٤ أطباق رئيسية

• ٣ مشروبات

• نوعين من الحلوى

كم وجبة مختلفة يمكن تكوينها باختيار عنصر واحد من كل نوع؟

٤ × ٣ × ٢ = ٢٤

الإجابة: ٢٤ وجبة

متى أستخدم مبدأ العد؟

ابحث عن سؤال يتكون من اختيارات متتابعة مثل:

قميص وسروال
وجبة ومشروب
طريق للذهاب وطريق للعودة
رقم مكوّن من عدة خانات
اختيار عنصر من كل مجموعة

تكتيك سريع

إذا كان السؤال يقول:

«له كذا اختيار للأول، وكذا اختيار للثاني...»

فكر مباشرة في الضرب.

ولا تجمع عدد الخيارات؛ لأن كل اختيار من المرحلة الأولى يمكن دمجه مع كل اختيار من المرحلة الثانية.

٥) التوافيق والتباديل

بعض أسئلة العد تعتمد على سؤال مهم جدًا:

هل ترتيب العناصر مهم أم لا؟

إذا كان الترتيب غير مهم → توافيق.

إذا كان الترتيب مهمًا → تباديل.

التوافيق

نستخدم التوافيق عندما نختار عناصر من مجموعة، لكن ترتيب الاختيار لا يغيّر النتيجة.

مثال:

نريد اختيار طالبين من ٥ طلاب لتمثيل الفصل.

اختيار:

أحمد وخالد

هو نفسه:

خالد وأحمد

لذلك الترتيب غير مهم.

هذه مسألة توافيق.

التباديل

نستخدم التباديل عندما يكون مكان أو ترتيب كل عنصر مهمًا.

مثال:

نريد اختيار رئيس ونائب من ٥ طلاب.

أحمد رئيس وخالد نائب

ليست نفس:

خالد رئيس وأحمد نائب

لذلك الترتيب مهم.

هذه مسألة تباديل.

سؤال سريع لتحديد الطريقة

اسأل نفسك:

إذا بدّلت ترتيب الشخصين أو العنصرين، هل أصبحت النتيجة مختلفة؟

• لا → توافيق

• نعم → تباديل

أمثلة على التوافيق

• اختيار طالبين لتمثيل الفصل.

• اختيار ٣ كتب من بين ٨ كتب.

• تكوين لجنة من ٤ أشخاص.

• اختيار فريق من مجموعة أشخاص.

أمثلة على التباديل

• ترتيب أشخاص في طابور.

• اختيار الأول والثاني والثالث.

• اختيار رئيس ونائب.

• ترتيب كتب على رف.

• تكوين أعداد من أرقام مختلفة عندما يغيّر ترتيب الأرقام قيمة العدد.

انتبه

أكبر خطأ هو أن ترى كلمة «اختيار» وتفترض أنها توافيق.

المهم ليس كلمة اختيار، وإنما:

هل الترتيب يؤثر في النتيجة؟

٦) احتمال عدم حدوث الحدث

احتمال عدم حدوث الحدث يساوي:

مثال: إذا كان احتمال نجاح طالب ، فإن احتمال عدم نجاحه:

٧) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١

عند رمي حجر نرد، ما احتمال ظهور العدد ٥؟

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٢

في كيس ٤ كرات حمراء و٦ كرات زرقاء. إذا سُحبت كرة عشوائيًا، فما احتمال أن تكون حمراء؟

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٣

عند رمي عملة معدنية مرة واحدة، ما احتمال ظهور كتابة؟

أ)
ب)
ج)
د) ١

مثال ٤

في صندوق ٥ أقلام سوداء و٣ زرقاء و٢ حمراء. ما احتمال سحب قلم ليس أحمر؟

أ)
ب)
ج)
د)

٨) سؤال قدرات بصيغة أذكى

في فصل فيه ١٢ طالبًا و١٨ طالبة. إذا اختير شخص عشوائيًا، فما احتمال أن يكون طالبًا؟

أ)
ب)
ج)
د)

٩) مثال مهم: احتمال حدثين معًا

إذا رُميت عملة معدنية مرتين، فما احتمال ظهور كتابة في المرتين؟

أ)
ب)
ج)
د)

قاعدة احتمال حدثين مستقلين معًا

إذا كان الحدثان مستقلين، فإن احتمال حدوثهما معًا يساوي:

احتمال الأول × احتمال الثاني

مثال:

احتمال ظهور كتابة في الرمية الأولى:

١/٢

واحتمال ظهور كتابة في الثانية:

١/٢

إذن احتمال ظهور كتابة في المرتين:

١/٢ × ١/٢ = ١/٤

وهذا أفضل من ترك الطالب يعتقد أنه يجب عليه دائمًا كتابة جميع النتائج الممكنة.

١٠) مثال مهم: احتمال "على الأقل"

عند رمي حجر نرد، ما احتمال ظهور عدد على الأقل ٥؟

أ)
ب)
ج)
د)

١١) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: الخلط بين النتائج المطلوبة والنتائج الممكنة.
في الاحتمال، البسط هو المطلوب، والمقام هو كل النتائج الممكنة.

الخطأ الثاني: نسيان تبسيط الكسر.
صحيحة، لكن الأفضل تبسيطها إلى .

الخطأ الثالث: فهم "على الأقل" بشكل خاطئ.
"على الأقل ٤" تعني ٤ أو أكبر، وليس أكبر من ٤ فقط.

الخطأ الرابع: الخلط بين "أحمر" و"ليس أحمر".
إذا طلب "ليس أحمر"، فإما تحسب كل الألوان الأخرى، أو تستخدم:

١٢) حيل سريعة

الحيلة الأولى: ابدأ دائمًا بسؤالين: كم عدد النتائج المطلوبة؟ وكم عدد النتائج الممكنة؟

الحيلة الثانية: إذا قال "ليس"، استخدم المتمم أحيانًا:

الحيلة الثالثة: عند رمي حجر نرد، النتائج دائمًا ٦.
وعند رمي عملة، النتائج دائمًا ٢.

الحيلة الرابعة: في السحب من كيس أو صندوق، المقام هو مجموع كل العناصر، وليس عدد لون واحد فقط.

١٣) تدريب سريع

سؤال ١

عند رمي حجر نرد، ما احتمال ظهور عدد فردي؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٢

في كيس ٧ كرات بيضاء و٣ سوداء. ما احتمال سحب كرة سوداء؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٣

في صندوق ٤ أقلام حمراء و٦ زرقاء. ما احتمال سحب قلم ليس أحمر؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٤

عند رمي حجر نرد، ما احتمال ظهور عدد أكبر من ٤؟

أ)
ب)
ج)
د)

١٤) ملخص الدرس

الاحتمال يساوي عدد النتائج المطلوبة مقسومًا على عدد النتائج الممكنة. الاحتمال يكون بين ٠ و١، حيث ٠ يعني حدثًا مستحيلًا و١ يعني حدثًا مؤكدًا. إذا طلب السؤال "عدم حدوث" شيء، يمكن استخدام المتمم: .

أهم خطوة في الحل هي تحديد البسط والمقام بشكل صحيح.