١) ما النمط؟

النمط هو تتابع من أعداد أو أشكال أو رموز تحكمه قاعدة ثابتة أو منظمة.

قد تكون القاعدة:

جمعًا أو طرحًا ثابتًا.

ضربًا أو قسمة ثابتة.

فروقًا تتغير بنمط.

تناوبًا بين عمليتين أو سلسلتين.

اعتماد كل حد على حد أو حدين سابقين.

مربعات أو مكعبات أو أعدادًا مشهورة.

تغيرًا بصريًا في الشكل أو الاتجاه أو التظليل.

٢) الترتيب الأفضل لفحص أي نمط عددي

اتبع هذا الترتيب السريع:

١. احسب الفروق بين الحدود.

٢. إذا لم يظهر شيء، افحص النسبة أو الضرب والقسمة.

٣. افحص الفروق بين الفروق.

٤. افحص وجود عمليتين متناوبتين.

٥. افصل الحدود الفردية والزوجية إذا بدا التتابع غير منتظم.

٦. جرّب المربعات والمكعبات والأعداد المثلثية أو حاصل ضرب عددين متتاليين.

٧. إذا كان كل حد يعتمد على السابقين، جرّب الجمع أو الطرح بينهما.

٣) الزيادة الثابتة

إذا كان الفرق ثابتًا بين كل حد والذي يليه، فالنمط حسابي بسيط.

مثال

٧، ١١، ١٥، ١٩، ...

إذن التالي:

٤) النقصان الثابت

إذا كان الفرق سالبًا ثابتًا، نطرح المقدار نفسه كل مرة.

مثال

٥٠، ٤٤، ٣٨، ٣٢، ...

النقصان = ٦.

التالي:

٥) الضرب الثابت

إذا لم تكن الفروق ثابتة، افحص هل كل حد يساوي السابق مضروبًا في عدد ثابت.

مثال

٢، ٦، ١٨، ٥٤، ...

التالي:

٦) القسمة الثابتة

قد يكون النمط تنازليًا بالقسمة.

مثال

١٦٠، ٨٠، ٤٠، ٢٠، ...

كل حد يساوي نصف السابق.

التالي:

٧) قاعدة مركبة تتكرر: ضرب ثم جمع

أحيانًا تتكرر العملية نفسها المركبة في كل انتقال.

مثال

٢، ٥، ١١، ٢٣، ...

القاعدة:

التالي:

٨) الفروق المتزايدة

قد لا يكون الفرق ثابتًا، لكنه نفسه يتبع نمطًا واضحًا.

مثال

٢، ٥، ٩، ١٤، ٢٠، ...

الفروق:

إذن الفرق التالي = ٧.

والحد التالي:

٩) الفروق الثانية

إذا كانت الفروق الأولى غير ثابتة، احسب الفروق بينها.

مثال

٣، ٨، ١٥، ٢٤، ٣٥، ...

الفروق الأولى:

الفروق الثانية:

الفرق الأول التالي = ١٣.

فالحد التالي:

١٠) التناوب بين عمليتين

قد تتغير العملية بالتناوب: عملية، ثم أخرى، ثم تعود الأولى.

مثال

٢، ٤، ٣، ٦، ٥، ١٠، ...

القاعدة:

×٢، ثم −١، ثم ×٢، ثم −١ ...

بعد ١٠ تأتي عملية −١:

١١) فصل الحدود الفردية والزوجية

قد يكون لدينا نمطان متداخلان.

مثال

٢، ١٠، ٤، ٢٠، ٦، ٣٠، ...

الحدود الفردية:

٢، ٤، ٦، ...

الحدود الزوجية:

١٠، ٢٠، ٣٠، ...

الحد التالي بعد ٣٠ هو حد فردي:

١٢) كيف أعرف أن النمط متناوب؟

إذا كانت الفروق بين جميع الحدود تبدو عشوائية، لكن الحدود في المواقع ١، ٣، ٥... منتظمة، وكذلك ٢، ٤، ٦...، فافصل السلسلتين.

لا تستخدم هذه الفكرة من البداية؛ جرّب القواعد الأبسط أولًا.

١٣) نمط يعتمد على الحدين السابقين

بعض الأنماط لا تعتمد على الحد السابق وحده.

مثال

١، ١، ٢، ٣، ٥، ٨، ...

كل حد يساوي مجموع الحدين السابقين:

إذن التالي = ١٣.

١٤) قد يكون الاعتماد على حدين بالطرح أو عملية أخرى

لا تفترض أن العلاقة بين الحدين السابقين هي الجمع دائمًا.

قد يستخدم السؤال مجموعهما، أو الفرق، أو حاصل ضربهما، لكن يجب أن تنطبق العلاقة نفسها على جميع المواضع الممكنة.

١٥) المربعات الكاملة

من المهم تمييز المربعات بسرعة:

١٦) نمط المربعات

١، ٤، ٩، ١٦، ٢٥، ...

هي:

التالي:

١٧) النمط القريب من المربعات

قد تكون الحدود مربعًا زائد أو ناقص مقدار ثابت.

مثال

٢، ٥، ١٠، ١٧، ٢٦، ...

هي:

التالي:

١٨) المكعبات

احفظ أشهرها:

مثال

٨، ٢٧، ٦٤، ١٢٥، ...

التالي:

١٩) الأعداد المثلثية

النمط:

١، ٣، ٦، ١٠، ١٥، ...

فروقه:

٢، ٣، ٤، ٥، ...

فالحد التالي:

ويمكن تمثيل الحد رقم ن بالقانون:

٢٠) حاصل ضرب عددين متتاليين

النمط:

٢، ٦، ١٢، ٢٠، ٣٠، ...

يمكن كتابته:

التالي:

وهذا تفسير بديل لنمط الفروق ٤، ٦، ٨، ١٠، ١٢.

٢١) أنماط الكسور: افصل البسط عن المقام

في الكسور، اجعل كل حد في صورة بسط ومقام، ثم افحص كل جزء على حدة.

مثال

البسط:

١، ٢، ٣، ...

المقام:

٢، ٣، ٤، ...

التالي:

٢٢) قد يتغير البسط والمقام بقانونين مختلفين

مثال:

البسط يزيد ١.

المقام يتضاعف.

إذن التالي:

٢٣) النمط في الأعداد العشرية

يمكن التعامل مع الأعداد العشرية مثل أي أعداد أخرى، لكن انتبه إلى القيمة المكانية.

مثال

٠٫٢، ٠٫٤، ٠٫٨، ١٫٦، ...

كل حد يتضاعف.

التالي:

٢٤) الحد الناقص في الوسط

لا تنظر من جهة واحدة فقط؛ يجب أن تتفق القاعدة قبل الفراغ وبعده.

مثال

٤، ٨، □، ١٦، ٢٠.

الزيادة ثابتة = ٤.

إذن الناقص = ١٢.

ونتحقق من الجهتين:

٢٥) الحل العكسي من النهاية

إذا كانت القاعدة واضحة والفراغ قريبًا من النهاية، اعكس العملية.

مثال

٣، ٦، □، ٢٤، ٤٨.

القاعدة ×٢.

نرجع من ٢٤:

٢٦) إيجاد حد بعيد في نمط حسابي بسيط

إذا كان الفرق ثابتًا د، والحد الأول أ، فإن الحد رقم ن:

مثال

٣، ٧، ١١، ١٥، ...

الحد العاشر:

استخدم هذه الصيغة عندما يطلب السؤال حدًا بعيدًا، بدل كتابة الحدود كلها.

٢٧) الأنماط المرسومة

في النمط المرسوم، لا تفترض أن المطلوب مجرد عد العناصر.

قد تكون هناك أرقام في رؤوس الشكل وداخله، والمطلوب اكتشاف علاقة ثابتة بينها.

جرّب الجمع والطرح والضرب والقسمة، لكن يجب أن تنطبق العلاقة نفسها على جميع الأشكال المكتملة قبل استخدامها في الشكل المجهول.

٢٨) مثال لفكرة الأنماط المرسومة

إذا كانت القاعدة في كل مثلث:

ففي مثلث رأسه ٧، وقاعدته ٧ و١٤:

المهم ليس حفظ هذه القاعدة؛ بل استنتاج القاعدة من الأشكال المكتملة ثم اختبارها عليها كلها.

٢٩) أنماط الأشكال بالعد

في بعض الرسومات تتغير كمية يمكن عدّها:

عدد النقاط.

عدد الأعواد.

عدد الأضلاع.

عدد المربعات أو المثلثات.

سجّل عدد العناصر في كل شكل ثم حوّل الرسم إلى متتابعة عددية.

٣٠) الدوران والاتجاه

قد لا يتغير عدد العناصر، بل اتجاه الشكل.

مثل:

أعلى، يمين، أسفل، يسار، أعلى...

هنا النمط دوران ربع دورة في كل مرة.

راقب أيضًا إذا كان الدوران بالتناوب أو بزاوية تتغير.

٣١) التظليل واللون والموقع

في الأنماط البصرية افحص:

هل يتناوب التظليل؟

هل ينتقل من زاوية إلى أخرى؟

هل يتحرك مع عقارب الساعة؟

هل يتغير عنصر واحد فقط بينما البقية ثابتة؟

افصل خصائص الشكل بدل النظر إليه ككتلة واحدة.

٣٢) النمط الدوري ليس مثل النمط المتزايد

إذا كانت مجموعة محددة تتكرر كما هي، مثل:

أ، ب، ج، أ، ب، ج، ...

فهذا نمط دوري، وليس نمط زيادة أو ضرب.

عند طلب حد بعيد جدًا نستخدم طول الدورة وباقي القسمة، لا نستمر في كتابة العناصر.

٣٣) مشكلة مهمة: يمكن اختراع أكثر من قاعدة

أي عدد قليل من الحدود قد يقبل قواعد معقدة كثيرة.

في أسئلة القدرات اختر:

أبسط قاعدة منتظمة.

قاعدة تنطبق على جميع الحدود المعطاة.

قاعدة متوافقة مع الخيارات.

ولا تختر قاعدة متكلفة تعتمد على استثناءات غير مذكورة.

٣٤) لا تعتمد على أول انتقال فقط

مثال:

٢، ٤، ٨، ١٦.

من ٢ إلى ٤ يمكن القول +٢ أو ×٢.

لكن بقية الحدود تؤكد أن القاعدة الصحيحة هي ×٢.

لذلك اختبر القاعدة على أكبر عدد ممكن من الانتقالات.

٣٥) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — فروق متزايدة

أكمل: ٢، ٦، ١٢، ٢٠، ٣٠، ...

أ) ٣٦
ب) ٤٠
ج) ٤٢
د) ٤٤

مثال ٢ — تناوب عمليات

أكمل: ٢، ٤، ٣، ٦، ٥، ١٠، ...

أ) ٨
ب) ٩
ج) ١٠
د) ٢٠

مثال ٣ — يعتمد على حدين

أكمل: ١، ١، ٢، ٣، ٥، ٨، ...

أ) ١٠
ب) ١١
ج) ١٢
د) ١٣

مثال ٤ — كسر

أكمل:

أ) ٣/٥
ب) ٤/٥
ج) ٤/٦
د) ٥/٦

٣٦) سؤال قدرات بصيغة أذكى

ما العدد الناقص؟

٣، ٦، ١١، ١٨، ٢٧، □، ٥١

أ) ٣٦
ب) ٣٨
ج) ٤٠
د) ٤٢

٣٧) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: اختيار قاعدة من أول انتقال فقط.

الخطأ الثاني: حساب الفروق مرة واحدة ثم التوقف رغم أن الفروق نفسها لها نمط.

الخطأ الثالث: إهمال التناوب بين عمليتين أو بين الحدود الفردية والزوجية.

الخطأ الرابع: افتراض أن كل حد يعتمد على السابق وحده، مع أن بعض الأنماط تعتمد على حدين سابقين.

الخطأ الخامس: في الكسور، التعامل مع الكسر كعدد واحد دون فحص البسط والمقام.

الخطأ السادس: في النمط المرسوم، اعتماد علاقة تنجح في شكل واحد فقط.

الخطأ السابع: نسيان المربعات والمكعبات والأنماط المشهورة.

الخطأ الثامن: اختراع قاعدة معقدة رغم وجود قاعدة أبسط تنطبق على كل الحدود.

٣٨) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: الفروق أولًا.

التكتيك الثاني: إذا لم تثبت الفروق، افحص النسب والضرب والقسمة.

التكتيك الثالث: افحص الفروق الثانية قبل البحث عن قاعدة غريبة.

التكتيك الرابع: إذا بدا التتابع متشابكًا، افصل المواقع الفردية والزوجية.

التكتيك الخامس: في الكسور: البسط وحده والمقام وحده.

التكتيك السادس: في الأشكال: عدّ كل خاصية متغيرة على حدة.

التكتيك السابع: الفراغ في الوسط؟ اختبر القاعدة من الجهتين.

التكتيك الثامن: حد بعيد في فرق ثابت؟ استخدم .

٣٩) تدريب متدرج

سؤال ١

أكمل: ٨، ١٣، ١٨، ٢٣، ...

أ) ٢٦
ب) ٢٧
ج) ٢٨
د) ٣٠

سؤال ٢

أكمل: ٢، ٨، ٣٢، ١٢٨، ...

أ) ٢٥٦
ب) ٣٨٤
ج) ٥١٢
د) ١٠٢٤

سؤال ٣

ما العدد الناقص؟ ١، ٣، ٦، ١٠، □، ٢١

أ) ١٢
ب) ١٤
ج) ١٥
د) ١٦

سؤال ٤

أكمل: ٤، ١، ٨، ٢، ١٢، ٣، ...

أ) ٤
ب) ١٦
ج) ١٨
د) ٢٤

سؤال ٥

أكمل: ٥، ١١، ٢٣، ٤٧، ...

أ) ٧١
ب) ٨٣
ج) ٩٥
د) ٩٧

سؤال ٦

أكمل: ٣، ٨، ١٥، ٢٤، ٣٥، ...

أ) ٤٦
ب) ٤٧
ج) ٤٨
د) ٤٩

سؤال ٧

أكمل: ١، ٤، ٩، ١٦، ٢٥، ...

أ) ٣٠
ب) ٣٦
ج) ٤٢
د) ٤٩

سؤال ٨

أكمل: ٨، ٢٧، ٦٤، ١٢٥، ...

أ) ١٨٠
ب) ٢٠٠
ج) ٢١٦
د) ٢٤٣

سؤال ٩

أكمل: ١، ١، ٢، ٣، ٥، ٨، ...

أ) ١١
ب) ١٢
ج) ١٣
د) ١٤

سؤال ١٠

أكمل:

أ) ٦/١٠
ب) ٦/١١
ج) ٧/١٠
د) ٧/١١

سؤال ١١

أكمل: ٢، ٤، ٣، ٦، ٥، ١٠، ...

أ) ٨
ب) ٩
ج) ١١
د) ٢٠

سؤال ١٢

في المتتابعة ٣، ٧، ١١، ١٥، ... ما الحد العاشر؟

أ) ٣٥
ب) ٣٧
ج) ٣٩
د) ٤١

سؤال ١٣

أكمل: ٢، ٦، ١٢، ٢٠، ٣٠، ...

أ) ٣٦
ب) ٤٠
ج) ٤٢
د) ٤٨

سؤال ١٤

ما العدد الناقص؟ ٤، ٨، ١٢، □، ٢٠، ٢٤

أ) ١٤
ب) ١٥
ج) ١٦
د) ١٨

٤٠) ملخص الدرس

الترتيب العملي لاكتشاف النمط:

الفروق ← النسب والضرب والقسمة ← الفروق الثانية ← التناوب ← فصل الفردي والزوجي ← المربعات والمكعبات والعلاقات الخاصة.

في الكسور افحص البسط والمقام كلًا على حدة.

وفي الأنماط المرسومة ابحث عن علاقة واحدة ثابتة تنطبق على جميع الأشكال المكتملة.

إذا كان الفرق ثابتًا، يمكن إيجاد الحد رقم ن مباشرة:

وأهم قاعدة: لا تعتمد على علاقة تنجح في موضع واحد؛ اختبرها على النمط كله.