١) ما هي الأسطوانة؟

الأسطوانة مجسم ثلاثي الأبعاد له قاعدتان دائريتان متطابقتان ومتوازيتان، وبينهما سطح جانبي منحني.

أهم قيمتين نحتاجهما عادة:

نصف القطر ر.

الارتفاع ع.

٢) مكونات الأسطوانة

تتكون الأسطوانة من:

قاعدتين دائريتين متطابقتين.

سطح جانبي منحني.

ارتفاع عمودي يصل بين مستويي القاعدتين.

٣) متى أستخدم قوانين الأسطوانة؟

استخدم قوانين الأسطوانة عندما يذكر السؤال: أسطوانة، خزان أسطواني، علبة دائرية، أنبوب، حجم، سعة، مساحة سطح، مساحة جانبية، نصف قطر، قطر، ارتفاع.

٤) مساحة قاعدة الأسطوانة

قاعدة الأسطوانة دائرة.

إذن مساحة القاعدة الواحدة:

مثال

نصف القطر = ٤.

٥) حجم الأسطوانة

حجم أي منشور قائم يساوي مساحة القاعدة × الارتفاع، والأسطوانة تتبع الفكرة نفسها.

لذلك:

٦) مثال مباشر على الحجم

أسطوانة نصف قطرها ٤ وارتفاعها ٦.

٧) إذا كان القطر معلومًا

قانون الأسطوانة يستخدم نصف القطر، لا القطر.

إذا كان القطر = ق:

مثال

قطر القاعدة = ١٠، والارتفاع = ٧.

٨) إيجاد الارتفاع من الحجم

من:

نحصل على:

مثال

حجم أسطوانة = ، ونصف قطرها ٥.

٩) إيجاد نصف القطر من الحجم

إذا كان الحجم والارتفاع معلومين:

ثم:

مثال

حجم الأسطوانة = ، وارتفاعها ٣.

١٠) المساحة الجانبية للأسطوانة

المساحة الجانبية هي مساحة السطح المنحني فقط دون القاعدتين.

إذا فتحنا السطح الجانبي، يتحول إلى مستطيل:

طوله = محيط القاعدة.

عرضه = ارتفاع الأسطوانة.

لذلك:

١١) لماذا المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع؟

محيط القاعدة الدائرية:

وعند فرد السطح الجانبي يصبح مستطيلًا طوله وعرضه ع.

إذن:

١٢) مثال على المساحة الجانبية

أسطوانة نصف قطرها ٣ وارتفاعها ٨.

١٣) مساحة السطح الكلية

المساحة الكلية تشمل:

السطح الجانبي.

القاعدتين الدائريتين.

مساحة القاعدتين:

إذن:

ويمكن كتابتها:

١٤) مثال على مساحة السطح الكلية

أسطوانة نصف قطرها ٣ وارتفاعها ٥.

١٥) الفرق بين الحجم والمساحة الجانبية والكلية

الحجم: الفراغ داخل الأسطوانة.

المساحة الجانبية: السطح المنحني فقط.

المساحة الكلية: السطح المنحني + القاعدتين.

١٦) أسطوانة مفتوحة من الأعلى

إذا كانت الأسطوانة بلا غطاء، فلا نحسب القاعدة العلوية.

المساحة المطلوبة:

مثال

أسطوانة مفتوحة من الأعلى نصف قطرها ٤ وارتفاعها ٥.

١٧) أسطوانة بلا قاعدتين

إذا كان المجسم أنبوبًا مفتوحًا من الطرفين وسمك الجدار مهملًا، فالمطلوب غالبًا المساحة الجانبية فقط:

١٨) الطلاء والتغليف

إذا قال السؤال «طلاء الأسطوانة من الخارج بالكامل» أو «تغليفها بالكامل»، فالمطلوب مساحة السطح الكلية.

إذا قال «طلاء السطح الجانبي فقط»، فلا تضف القاعدتين.

١٩) السعة والخزانات

إذا ذكر السؤال خزانًا أسطوانيًا أو كمية سائل داخله، فالمطلوب غالبًا الحجم.

إذا كانت الأبعاد بالمتر، فالحجم بالمتر المكعب.

٢٠) مثال على خزان أسطواني

خزان نصف قطره ٧ م وارتفاعه ١٠ م، مع استخدام:

الحجم:

ولو طلبت السعة باللتر:

٢١) متى أستخدم ٢٢ على ٧؟

إذا كان نصف القطر أو القطر من مضاعفات ٧، فقد يكون استخدام:

أسرع بسبب الاختصار.

٢٢) متى أترك الإجابة بدلالة π؟

إذا طلب السؤال الإجابة بدلالة π، فلا تستبدل π بقيمة عشرية.

مثال

نصف القطر = ٥، الارتفاع = ٤.

٢٣) أثر تغيير الارتفاع فقط

إذا بقي نصف القطر ثابتًا، فإن الحجم يتناسب طرديًا مع الارتفاع.

إذا تضاعف الارتفاع، يتضاعف الحجم.

كما تتضاعف المساحة الجانبية، لأن:

٢٤) أثر تغيير نصف القطر فقط على الحجم

الحجم يعتمد على مربع نصف القطر.

إذا تضاعف نصف القطر مع ثبات الارتفاع:

فيصبح الحجم أربعة أمثال.

٢٥) أثر تغيير نصف القطر على المساحة الجانبية

المساحة الجانبية تعتمد على ر للقوة الأولى.

إذا تضاعف نصف القطر مع ثبات الارتفاع، تتضاعف المساحة الجانبية.

٢٦) تكبير الأسطوانة كلها

إذا ضُرب نصف القطر والارتفاع معًا في العدد ك:

مساحات الأسطح تتغير بعامل:

والحجم يتغير بعامل:

مثال

إذا تضاعف نصف القطر والارتفاع معًا، تصبح مساحة السطح ٤ أمثال، والحجم ٨ أمثال.

٢٧) مقارنة حجم أسطوانتين

إذا كان الارتفاع نفسه، فنسبة الحجمين تساوي نسبة مربعي نصفي القطر.

مثال

نصفا القطر بنسبة ٢:٣ والارتفاع متساوٍ.

نسبة الحجمين:

٢٨) أسطوانتان لهما نصف القطر نفسه

إذا كان نصف القطر نفسه، فنسبة الحجمين تساوي نسبة الارتفاعين.

مثال

ارتفاعا أسطوانتين ٤ و١٠ ونصف القطر نفسه.

نسبة الحجمين:

٢٩) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — الحجم

أسطوانة نصف قطرها ٣ وارتفاعها ٤. ما حجمها؟

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٢ — القطر معلوم

أسطوانة قطرها ١٢ وارتفاعها ٥. ما حجمها؟

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٣ — المساحة الجانبية

أسطوانة نصف قطرها ٤ وارتفاعها ٧. ما مساحتها الجانبية؟

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٤ — المساحة الكلية

أسطوانة نصف قطرها ٣ وارتفاعها ٥. ما مساحة سطحها الكلية؟

أ)
ب)
ج)
د)

٣٠) سؤال قدرات بصيغة أذكى

أسطوانة نصف قطرها ٣ وارتفاعها ٦. إذا ضُوعف نصف القطر وبقي الارتفاع ثابتًا، فكم يصبح حجمها الجديد مقارنة بحجمها الأصلي؟

أ) مثليه
ب) ٣ أمثاله
ج) ٤ أمثاله
د) ٨ أمثاله

٣١) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: استخدام القطر بدل نصف القطر في القوانين.

الخطأ الثاني: نسيان تربيع نصف القطر في الحجم.

الخطأ الثالث: الخلط بين الحجم والمساحة الجانبية ومساحة السطح الكلية.

الخطأ الرابع: في المساحة الكلية، حساب قاعدة واحدة بدل قاعدتين.

الخطأ الخامس: إضافة القاعدتين عند طلب المساحة الجانبية فقط.

الخطأ السادس: في الأسطوانة المفتوحة، حساب غطاء غير موجود.

الخطأ السابع: الاعتقاد أن مضاعفة نصف القطر تضاعف الحجم فقط؛ الصحيح أن الحجم يصبح ٤ أمثال إذا بقي الارتفاع ثابتًا.

٣٢) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: حجم أو يتسع أو خزان ← .

التكتيك الثاني: قطر معلوم ← اقسمه على ٢ أولًا.

التكتيك الثالث: مساحة جانبية ← .

التكتيك الرابع: مساحة كلية ← .

التكتيك الخامس: مساحة جانبية = محيط القاعدة × الارتفاع.

التكتيك السادس: إذا كانت الأسطوانة مفتوحة، عدّ القواعد الموجودة قبل حساب مساحة السطح.

التكتيك السابع: مضاعفة ر مع ثبات ع ← الحجم ٤ أمثال، والمساحة الجانبية مثليها.

التكتيك الثامن: تكبير جميع الأبعاد بعامل ك ← المساحات بعامل والحجم بعامل .

٣٣) تدريب متدرج

سؤال ١

أسطوانة نصف قطرها ٢ وارتفاعها ٩. ما حجمها؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٢

أسطوانة قطرها ١٤ وارتفاعها ٤. ما حجمها باستخدام ؟

أ) ٣٠٨
ب) ٤٤٠
ج) ٦١٦
د) ١٢٣٢

سؤال ٣

أسطوانة حجمها ونصف قطرها ٥. ما ارتفاعها؟

أ) ٤
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٠

سؤال ٤

أسطوانة حجمها وارتفاعها ٣. ما نصف قطرها؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ٤٩

سؤال ٥

أسطوانة نصف قطرها ٦ وارتفاعها ١٠. ما مساحتها الجانبية؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٦

أسطوانة نصف قطرها ٢ وارتفاعها ٥. ما مساحة سطحها الكلية؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٧

أسطوانة مفتوحة من الأعلى نصف قطرها ٣ وارتفاعها ٤. ما مساحة سطحها الخارجي؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٨

أنبوب أسطواني مفتوح من الطرفين، نصف قطره ٤ وارتفاعه ٩، مع إهمال سمك الجدار. ما مساحة سطحه الجانبي؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٩

إذا تضاعف ارتفاع أسطوانة وبقي نصف القطر ثابتًا، فكم يصبح حجمها؟

أ) يبقى نفسه
ب) مثليه
ج) ٤ أمثاله
د) ٨ أمثاله

سؤال ١٠

إذا تضاعف نصف قطر أسطوانة وبقي ارتفاعها ثابتًا، فكم يصبح حجمها؟

أ) مثليه
ب) ٣ أمثاله
ج) ٤ أمثاله
د) ٨ أمثاله

سؤال ١١

إذا تضاعف نصف قطر أسطوانة وبقي ارتفاعها ثابتًا، فكم تصبح مساحتها الجانبية؟

أ) تبقى نفسها
ب) مثليها
ج) ٤ أمثالها
د) ٨ أمثالها

سؤال ١٢

إذا تضاعف نصف القطر والارتفاع معًا، فكم يصبح حجم الأسطوانة؟

أ) مثليه
ب) ٤ أمثاله
ج) ٦ أمثاله
د) ٨ أمثاله

سؤال ١٣

أسطوانتان لهما الارتفاع نفسه، ونسبة نصفي قطريهما ٢:٥. ما نسبة حجميهما؟

أ) ٢:٥
ب) ٤:٢٥
ج) ٨:١٢٥
د) ٥:٢

سؤال ١٤

أسطوانتان لهما نصف القطر نفسه، وارتفاعاهما ٦ و١٥. ما نسبة حجميهما؟

أ) ٢:٥
ب) ٤:٢٥
ج) ٥:٢
د) ٦:٢١

٣٤) ملخص الدرس

الأسطوانة لها قاعدتان دائريتان متطابقتان وسطح جانبي منحني.

أهم القوانين:

إذا كان القطر معلومًا، اقسمه على ٢ قبل التعويض. وإذا كانت الأسطوانة مفتوحة، احسب عدد القواعد الموجودة فعلًا قبل حساب مساحة السطح.