١) فكرتان مختلفتان للتصنيف

يمكن وصف المثلث بطريقتين في الوقت نفسه:

حسب الأضلاع: هل أطوال الأضلاع متساوية أم مختلفة؟

حسب الزوايا: هل كل الزوايا حادة، أم توجد زاوية قائمة، أم توجد زاوية منفرجة؟

مثال

المثلث ذو الأضلاع :

مختلف الأضلاع حسب الأضلاع.

قائم الزاوية حسب الزوايا.

٢) متساوي الأضلاع

المثلث متساوي الأضلاع تكون أضلاعه الثلاثة متساوية.

وبما أن الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية متساوية، فإن زواياه الثلاث متساوية أيضًا.

ومجموعها ، لذلك قياس كل زاوية:

قاعدة للحفظ

متساوي الأضلاع ← كل زاوية = ٦٠°.

٣) متساوي الساقين

المثلث متساوي الساقين له ضلعان متساويان.

الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين متساويتان، وتسمّيان عادة زاويتي القاعدة.

مثال

إذا كانت زاوية الرأس :

مجموع زاويتي القاعدة:

وبما أنهما متساويتان:

٤) خاصية الارتفاع في متساوي الساقين

إذا رُسم ارتفاع من رأس المثلث متساوي الساقين إلى القاعدة، فإنه يقسم القاعدة إلى جزأين متساويين.

مثال

إذا كان طول القاعدة ١٢، فإن كل جزء بعد رسم الارتفاع من الرأس يساوي:

هذه الخاصية مهمة لاحقًا في أسئلة المساحة وفيثاغورس.

٥) متساوي الساقين وفيه زاوية ٦٠°

إذا كان مثلث متساوي الساقين وفيه زاوية مقدارها ، فإن المثلث يصبح متساوي الأضلاع.

لماذا؟

إذا كانت ٦٠° زاوية الرأس، فإن زاويتي القاعدة متساويتان ومجموعهما ١٢٠°، فتكون كل منهما ٦٠°.

وإذا كانت ٦٠° إحدى زاويتي القاعدة، فزاوية القاعدة الأخرى أيضًا ٦٠°، وتبقى للرأس ٦٠°.

إذن الزوايا الثلاث كلها .

٦) مختلف الأضلاع

المثلث مختلف الأضلاع أطوال أضلاعه الثلاثة مختلفة.

وبالتالي زواياه الثلاث مختلفة أيضًا.

مثال

أضلاع مثلث:

كلها مختلفة، إذن المثلث مختلف الأضلاع.

٧) التصنيف حسب الزوايا

هناك ثلاثة أنواع:

حاد الزوايا: زواياه الثلاث كلها أصغر من .

قائم الزاوية: فيه زاوية واحدة تساوي .

منفرج الزاوية: فيه زاوية واحدة أكبر من .

٨) لماذا لا يمكن وجود زاويتين قائمتين أو منفرجتين؟

مجموع زوايا المثلث كله .

زاويتان قائمتان وحدهما مجموعهما:

فلن يبقى قياس موجب للزاوية الثالثة.

وكذلك زاويتان منفرجتان مجموعهما أكبر من ، وهذا مستحيل.

٩) المثلث الحاد

لكي يكون المثلث حادًا، يجب أن تكون كل زواياه أقل من .

مثال

جميع الزوايا حادة، إذن المثلث حاد الزوايا.

١٠) المثلث القائم

إذا وجدت زاوية واحدة مقدارها ، فالمثلث قائم مباشرة.

ومجموع الزاويتين الأخريين:

مثال

١١) المثلث المنفرج

إذا وجدت زاوية واحدة أكبر من ، فالمثلث منفرج.

مثال

وجود يكفي لتصنيفه منفرجًا.

١٢) العلاقة بين الزوايا والأضلاع

في المثلث نفسه:

أكبر زاوية تقابل أطول ضلع.

أصغر زاوية تقابل أقصر ضلع.

الزاوية الوسطى تقابل الضلع الأوسط.

والعكس صحيح أيضًا.

مثال

إذا كانت الزوايا:

فالضلع المقابل لـ هو الأطول.

١٣) تساوي الأضلاع والزوايا

الأضلاع المتساوية تقابل زوايا متساوية.

والزوايا المتساوية تقابل أضلاعًا متساوية.

نتيجة سريعة

إذا أخبرك السؤال أن زاويتين متساويتان، فقد عرفت فورًا أن المثلث متساوي الساقين من جهة الضلعين المقابلين لهما.

١٤) هل يمكن معرفة نوع المثلث من أطوال أضلاعه؟

نعم. بعد التأكد أولًا أن الأطوال تكوّن مثلثًا، يمكن تحديد هل هو حاد أو قائم أو منفرج باستخدام مربعات الأضلاع.

رتّب الأضلاع واجعل ج هو أكبر ضلع، ثم قارن:

مع:

١٥) اختبار المثلث القائم من الأضلاع

إذا كان:

فالمثلث قائم الزاوية.

مثال

الأضلاع:

إذن المثلث قائم.

١٦) اختبار المثلث الحاد من الأضلاع

إذا كان مربع أكبر ضلع أصغر من مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

فالمثلث حاد الزوايا.

مثال

الأضلاع:

إذن المثلث حاد.

١٧) اختبار المثلث المنفرج من الأضلاع

إذا كان مربع أكبر ضلع أكبر من مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

فالمثلث منفرج الزاوية.

مثال

الأضلاع:

إذن المثلث منفرج.

١٨) احفظ المقارنة بهذا الشكل

اجعل المقارنة دائمًا من جهة مربع أكبر ضلع:

← قائم.

← حاد.

← منفرج.

تكتيك

اكتب مربع الأكبر في الطرف الأول دائمًا حتى لا تعكس الحالتين الحادة والمنفرجة.

١٩) تحقق من متباينة المثلث أولًا

اختبار المربعات يحدد نوع مثلث موجود. لذلك إذا كانت الأطوال مشكوكًا فيها، تحقق أولًا أنها تكوّن مثلثًا.

مثال

الأطوال:

إذن لا يوجد مثلث أصلًا، ولا معنى لتصنيفه حادًا أو قائمًا أو منفرجًا.

٢٠) المثلث يمكن أن يحمل وصفين

التصنيف حسب الأضلاع والتصنيف حسب الزوايا مستقلان.

أمثلة

مثلث : مختلف الأضلاع وقائم.

مثلث زواياه : متساوي الساقين وقائم.

مثلث متساوي الأضلاع: متساوي الأضلاع وحاد الزوايا؛ لأن زواياه كلها .

٢١) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — حسب الأضلاع

مثلث أضلاعه ٨، ٨، ٨. ما نوعه حسب الأضلاع؟

أ) مختلف الأضلاع
ب) متساوي الساقين
ج) متساوي الأضلاع
د) قائم

مثال ٢ — متساوي الساقين

مثلث أضلاعه ٥، ٥، ٩. ما نوعه حسب الأضلاع؟

أ) متساوي الأضلاع
ب) متساوي الساقين
ج) مختلف الأضلاع
د) قائم دائمًا

مثال ٣ — حسب الزوايا

مثلث زواياه ٤٠°، ٥٠°، ٩٠°. ما نوعه؟

أ) حاد
ب) قائم
ج) منفرج
د) متساوي الأضلاع

مثال ٤ — من الأطوال

ما نوع المثلث ذي الأضلاع ٥، ٦، ٨ حسب الزوايا؟

أ) حاد
ب) قائم
ج) منفرج
د) لا تكوّن مثلثًا

٢٢) سؤال قدرات بصيغة أذكى

مثلث متساوي الساقين، قياس إحدى زواياه . فما قياس كل من الزاويتين الأخريين؟

أ) ٤٠°، ٤٠°
ب) ٥٠°، ٣٠°
ج) ٨٠°، ٠°
د) لا يمكن أن يوجد مثلث كهذا

٢٣) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: الخلط بين التصنيف حسب الأضلاع والتصنيف حسب الزوايا.

الخطأ الثاني: اعتبار كل مثلث قائم متساوي الساقين. قد يكون قائمًا ومختلف الأضلاع مثل ٣، ٤، ٥.

الخطأ الثالث: نسيان أن زاويتي القاعدة في متساوي الساقين متساويتان.

الخطأ الرابع: اعتبار متساوي الأضلاع قائمًا؛ زواياه كلها ٦٠° ولذلك هو حاد.

الخطأ الخامس: عند التصنيف من الأطوال، استخدام ضلع غير الأكبر في مقارنة المربعات.

الخطأ السادس: عكس الحاد والمنفرج في اختبار المربعات. اجعل مربع الأكبر في الطرف الأول دائمًا.

الخطأ السابع: تصنيف ثلاثة أطوال قبل التأكد أنها تكوّن مثلثًا.

٢٤) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: ثلاثة أضلاع متساوية ← متساوي الأضلاع ← كل زاوية ٦٠°.

التكتيك الثاني: ضلعان متساويان ← الزاويتان المقابلتان متساويتان.

التكتيك الثالث: زاوية ٩٠° ← قائم مباشرة.

التكتيك الرابع: زاوية أكبر من ٩٠° ← منفرج مباشرة.

التكتيك الخامس: أكبر زاوية ↔ أطول ضلع.

التكتيك السادس: إذا أعطاك الأضلاع وطلب النوع حسب الزوايا، رتّبها ثم قارن مربع الأكبر بمجموع مربعي الباقيين.

التكتيك السابع: في متساوي الساقين، إذا كانت إحدى الزوايا منفرجة فهي بالضرورة زاوية الرأس.

التكتيك الثامن: إذا كان متساوي الساقين وفيه زاوية ٦٠°، فهو متساوي الأضلاع.

٢٥) تدريب متدرج

سؤال ١

مثلث أضلاعه ٤، ٤، ٤. ما نوعه حسب الأضلاع؟

أ) متساوي الأضلاع
ب) متساوي الساقين
ج) مختلف الأضلاع
د) قائم

سؤال ٢

مثلث أضلاعه ٧، ٧، ١٠. ما نوعه حسب الأضلاع؟

أ) متساوي الأضلاع
ب) متساوي الساقين
ج) مختلف الأضلاع
د) منفرج بالضرورة

سؤال ٣

مثلث زواياه ٣٠°، ٦٠°، ٩٠°. ما نوعه حسب الزوايا؟

أ) حاد
ب) قائم
ج) منفرج
د) متساوي الأضلاع

سؤال ٤

مثلث زواياه ٥٠°، ٦٠°، ٧٠°. ما نوعه حسب الزوايا؟

أ) حاد
ب) قائم
ج) منفرج
د) لا تكوّن مثلثًا

سؤال ٥

مثلث متساوي الساقين، زاوية الرأس فيه ٤٠°. ما قياس كل زاوية قاعدة؟

أ) ٦٠°
ب) ٧٠°
ج) ٨٠°
د) ٩٠°

سؤال ٦

مثلث متساوي الساقين، إحدى زاويتي القاعدة ٦٥°. ما زاوية الرأس؟

أ) ٤٠°
ب) ٥٠°
ج) ٦٥°
د) ١١٥°

سؤال ٧

مثلث متساوي الساقين وفيه زاوية ٦٠°. ما نوعه؟

أ) قائم
ب) منفرج
ج) متساوي الأضلاع
د) مختلف الأضلاع

سؤال ٨

زوايا مثلث هي ٣٥°، ٦٠°، ٨٥°. أي ضلع هو الأطول؟

أ) المقابل لـ٣٥°
ب) المقابل لـ٦٠°
ج) المقابل لـ٨٥°
د) لا يمكن التحديد

سؤال ٩

الأضلاع ٦، ٨، ١٠ تكوّن مثلثًا من أي نوع حسب الزوايا؟

أ) حاد
ب) قائم
ج) منفرج
د) لا تكوّن مثلثًا

سؤال ١٠

الأضلاع ٥، ٥، ٦ تكوّن مثلثًا من أي نوع حسب الزوايا؟

أ) حاد
ب) قائم
ج) منفرج
د) لا تكوّن مثلثًا

سؤال ١١

الأضلاع ٤، ٥، ٨ تكوّن مثلثًا من أي نوع حسب الزوايا؟

أ) حاد
ب) قائم
ج) منفرج
د) لا تكوّن مثلثًا

سؤال ١٢

إذا كان أطول ضلع في مثلث يقابل زاوية مقدارها ٧٥°، فماذا نعرف عن نوع المثلث حسب الزوايا؟

أ) حاد
ب) قائم
ج) منفرج
د) لا يمكن التحديد

سؤال ١٣

مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ٩. رُسم ارتفاع من أحد الرؤوس إلى الضلع المقابل. إلى أي طولين يقسم ذلك الضلع؟

أ) ٣ و٦
ب) ٤ و٥
ج) ٤٫٥ و٤٫٥
د) ٩ و٩

سؤال ١٤

أي العبارات التالية صحيحة؟

أ) كل مثلث متساوي الساقين قائم
ب) كل مثلث متساوي الأضلاع حاد
ج) كل مثلث مختلف الأضلاع منفرج
د) كل مثلث قائم مختلف الأضلاع

٢٦) ملخص الدرس

حسب الأضلاع: المثلث إما متساوي الأضلاع، أو متساوي الساقين، أو مختلف الأضلاع. وحسب الزوايا: إما حاد، أو قائم، أو منفرج.

في متساوي الأضلاع كل زاوية = . وفي متساوي الساقين زاويتا القاعدة متساويتان، والارتفاع من الرأس يقسم القاعدة إلى جزأين متساويين.

أكبر زاوية تقابل أطول ضلع، والمتساوي من الأضلاع يقابله متساوٍ من الزوايا. وإذا أعطيت أطوال الأضلاع، قارن مربع أكبر ضلع بمجموع مربعي الآخرين: المساواة تعني قائمًا، وإذا كان مربع الأكبر أصغر فالمثلث حاد، وإذا كان أكبر فالمثلث منفرج.