١) الفكرة الأساسية

شكل فن هو طريقة لتنظيم بيانات المجموعات داخل دوائر متداخلة.

كل دائرة تمثل مجموعة، والمنطقة المشتركة بين دائرتين أو أكثر تمثل العناصر التي تنتمي إلى هذه المجموعات معًا.

مثال

المجموعة أ: طلاب يحبون الرياضيات.

المجموعة ب: طلاب يحبون العلوم.

المنطقة المشتركة بين أ وب: طلاب يحبون الرياضيات والعلوم معًا.

٢) كلمات يجب فهمها قبل الحل

أ فقط: ينتمي إلى أ ولا ينتمي إلى ب.

أ وب معًا: ينتمي إلى المجموعتين.

أ أو ب: ينتمي إلى أ أو ب أو إليهما معًا.

لا أ ولا ب: يقع خارج الدائرتين.

على الأقل مجموعة واحدة: يقع داخل دائرة واحدة على الأقل.

٣) الاتحاد والتقاطع

رمز الاتحاد:

ومعناه: أ أو ب أو كلاهما.

رمز التقاطع:

ومعناه: أ وب معًا.

٤) قانون مجموعتين

إذا كانت لدينا مجموعتان أ وب:

نطرح التقاطع لأن العناصر المشتركة حُسبت مرة داخل أ ومرة داخل ب.

مثال

إذا كان:

فإن:

٥) كيف أجد «أ فقط» و«ب فقط»؟

إذا كان عدد أ يشمل المشتركين، فإن:

وكذلك:

مثال

إذا كان في أ عددهم ٣٠، وفي ب عددهم ٢٥، والمشتركون ١٠:

أ فقط:

ب فقط:

٦) من لا ينتمي إلى أي مجموعة

إذا كان المجموع الكلي معلومًا، نحسب أولًا من ينتمي إلى مجموعة واحدة على الأقل، ثم نطرحه من الكل.

مثال

في فصل ٥٠ طالبًا، وعدد من ينتمون إلى أ أو ب يساوي ٣٨.

إذن من لا ينتمي إلى أي منهما:

٧) إيجاد التقاطع عندما يكون مجهولًا

إذا أعطاك السؤال عدد أ، وعدد ب، وعدد الاتحاد، نستخرج التقاطع بإعادة ترتيب القانون.

مثال

إذا كان:

فإن:

إذن:

٨) الانتقال إلى ثلاث مجموعات

عند وجود ثلاث مجموعات أ، ب، ج يصبح شكل فن مكوّنًا من ثلاث دوائر، ويظهر فيه سبعة أجزاء داخل الدوائر:

أ فقط.

ب فقط.

ج فقط.

أ وب فقط.

أ وج فقط.

ب وج فقط.

أ وب وج معًا.

وقد يوجد أيضًا جزء ثامن خارج الدوائر لمن لا ينتمي إلى أي مجموعة.

٩) أهم نقطة في ثلاث مجموعات: ابدأ من الوسط

المنطقة المشتركة بين المجموعات الثلاث هي:

ابدأ بها دائمًا؛ لأنها تدخل داخل تقاطع كل زوج من المجموعات.

مثال

إذا كان عدد من ينتمون إلى أ وب هو ١٢، ومن ينتمون إلى المجموعات الثلاث معًا هو ٤، فإن منطقة «أ وب فقط»:

١٠) الفرق بين «أ وب» و«أ وب فقط»

هذه من أهم النقاط في أسئلة المجموعات الثلاث.

أ وب: يشمل من قد يكون أيضًا في ج.

أ وب فقط: لا يشمل من ينتمي إلى ج.

قاعدة

ونطبق القاعدة نفسها على أ وج فقط، وب وج فقط.

١١) الترتيب الصحيح لملء شكل فن لثلاث مجموعات

الخطوة ١: ضع التقاطع الثلاثي في المركز.

الخطوة ٢: احسب مناطق تقاطع كل مجموعتين فقط بعد طرح المركز.

الخطوة ٣: احسب أ فقط، ب فقط، ج فقط.

الخطوة ٤: اجمع كل ما داخل الدوائر إذا طُلب الاتحاد.

الخطوة ٥: إذا كان المجموع الكلي معلومًا، اطرح الاتحاد من الكل لإيجاد من لا ينتمي إلى أي مجموعة.

١٢) كيف أجد «أ فقط» في ثلاث مجموعات؟

عدد المجموعة أ يشمل كل المناطق الموجودة داخل دائرة أ.

لذلك:

أ فقط = عدد أ − (أ وب فقط) − (أ وج فقط) − (أ وب وج معًا).

مثال

إذا كان عدد أ = ٣٨، وأ وب فقط = ١٠، وأ وج فقط = ٧، والثلاثة معًا = ٥:

إذن أ فقط = ١٦.

١٣) قانون الاتحاد لثلاث مجموعات

إذا كانت أعداد المجموعات والتقاطعات معطاة مباشرة، يمكن حساب الاتحاد بالقانون:

لماذا نضيف التقاطع الثلاثي في النهاية؟

لأن جمع المجموعات الثلاث يحسبه ثلاث مرات، ثم طرح التقاطعات الزوجية يطرحه ثلاث مرات؛ فيصبح غير محسوب، لذلك نضيفه مرة واحدة.

١٤) مثال شامل على ثلاث مجموعات

في مجموعة من ٨٠ طالبًا:

عدد أ = ٣٨.

عدد ب = ٣٥.

عدد ج = ٣٠.

عدد أ وب = ١٥.

عدد أ وج = ١٢.

عدد ب وج = ١٠.

عدد الثلاثة معًا = ٥.

أولًا: مناطق التقاطع فقط

أ وب فقط:

أ وج فقط:

ب وج فقط:

ثانيًا: المناطق المنفردة

أ فقط:

ب فقط:

ج فقط:

ثالثًا: داخل الدوائر

رابعًا: خارج الدوائر

١٥) «بالضبط مجموعة واحدة» و«بالضبط مجموعتان»

بالضبط مجموعة واحدة: نجمع أ فقط + ب فقط + ج فقط.

في المثال السابق:

بالضبط مجموعتان: نجمع مناطق التقاطع الزوجي فقط، دون المركز.

١٦) «على الأقل مجموعة واحدة»

تعني كل من يقع داخل دائرة واحدة أو أكثر، أي الاتحاد.

في المثال السابق:

إذا كان المجموع الكلي ٨٠، فإن من لا ينتمي إلى أي مجموعة:

١٧) لا تجمع الأرقام الظاهرة مباشرة

في المجموعات الثلاث، الرقم المكتوب على تقاطع أ وب قد يشمل من هم في المجموعات الثلاث.

لذلك إذا طلب «أ وب فقط»، يجب طرح التقاطع الثلاثي أولًا.

قاعدة ذهنية

المركز أولًا، ثم التقاطعات الزوجية، ثم الأجزاء المنفردة.

١٨) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — مجموعتان

٢٢ طالبًا يحبون العربية، و١٨ يحبون الإنجليزية، و٥ يحبون اللغتين. كم طالبًا يحبون العربية أو الإنجليزية؟

أ) ٣٠
ب) ٣٥
ج) ٤٠
د) ٤٥

مثال ٢ — فقط

٣٠ شخصًا يستخدمون تطبيق أ، و٢٠ يستخدمون تطبيق ب، و٨ يستخدمون الاثنين. كم شخصًا يستخدم أ فقط؟

أ) ٨
ب) ١٢
ج) ٢٢
د) ٢٨

مثال ٣ — ثلاث مجموعات

إذا كان عدد أ وب = ١٤، وعدد أ وب وج معًا = ٦، فكم عدد أ وب فقط؟

أ) ٦
ب) ٨
ج) ١٤
د) ٢٠

١٩) سؤال قدرات بصيغة أذكى

في مجموعة من ٦٠ شخصًا، ٢٨ في أ، و٢٥ في ب، و٢٢ في ج، و١٠ في أ وب، و٩ في أ وج، و٨ في ب وج، و٤ في المجموعات الثلاث. كم شخصًا لا ينتمي إلى أي من المجموعات؟

أ) ٤
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٠

٢٠) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: جمع أ وب دون طرح التقاطع.

الخطأ الثاني: الخلط بين «أ» و«أ فقط».

الخطأ الثالث: اعتبار «أ أو ب» بمعنى أحدهما فقط؛ الاتحاد يشمل المشترك أيضًا.

الخطأ الرابع: نسيان من يقع خارج الدوائر عندما يكون المجموع الكلي معلومًا.

الخطأ الخامس: في ثلاث مجموعات، عدم البدء بالتقاطع الثلاثي.

الخطأ السادس: اعتبار «أ وب» مساويًا لـ«أ وب فقط» رغم وجود مجموعة ثالثة.

الخطأ السابع: طرح التقاطع الثلاثي مرتين من المنطقة نفسها.

الخطأ الثامن: استخدام قانون ثلاث مجموعات مع أرقام تمثل مناطق «فقط» بدل أعداد المجموعات الكلية.

٢١) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: في مجموعتين ابدأ بالتقاطع.

التكتيك الثاني: كلمة «فقط» تعني أن تستبعد أي تداخل آخر.

التكتيك الثالث: في ثلاث مجموعات ابدأ بالمركز دائمًا.

التكتيك الرابع: بعد المركز، احسب «كل زوج فقط» قبل حساب «كل مجموعة فقط».

التكتيك الخامس: «على الأقل واحدة» = الاتحاد.

التكتيك السادس: «بالضبط مجموعتان» = التقاطعات الزوجية فقط دون المركز.

التكتيك السابع: «لا هذا ولا ذاك» = الكل − الاتحاد.

التكتيك الثامن: بعد ملء الشكل، اجمع كل المناطق مرة واحدة للتأكد من عدم التكرار.

٢٢) تدريب متدرج

سؤال ١

في أ ١٨ شخصًا، وفي ب ١٤، وفيهما معًا ٥. كم في أ أو ب؟

أ) ٢٣
ب) ٢٧
ج) ٣٢
د) ٣٧

سؤال ٢

في أ ٢٤ شخصًا، والمشتركون بين أ وب ٩. كم في أ فقط؟

أ) ٩
ب) ١٣
ج) ١٥
د) ٣٣

سؤال ٣

عدد أ = ٢٠، وعدد ب = ٢٨، والاتحاد = ٣٨. فما التقاطع؟

أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٨

سؤال ٤

في مجموعة من ٥٠ شخصًا، ينتمي ٣٦ إلى أ أو ب. كم لا ينتمي إلى أي منهما؟

أ) ١٢
ب) ١٤
ج) ١٦
د) ١٨

سؤال ٥

في ثلاث مجموعات، عدد أ وب = ١٧، وعدد الثلاثة معًا = ٥. كم أ وب فقط؟

أ) ٥
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ٢٢

سؤال ٦

إذا كان أ فقط = ١٢، وب فقط = ١٠، وج فقط = ٨، فما عدد من ينتمون إلى مجموعة واحدة بالضبط؟

أ) ٢٠
ب) ٢٢
ج) ٣٠
د) لا يمكن التحديد

سؤال ٧

إذا كانت مناطق أ وب فقط = ٦، وأ وج فقط = ٧، وب وج فقط = ٥، فما عدد من ينتمون إلى مجموعتين بالضبط؟

أ) ١١
ب) ١٢
ج) ١٨
د) لا يمكن التحديد

سؤال ٨

عدد أ = ٣٠، وعدد أ وب فقط = ٨، وعدد أ وج فقط = ٦، وعدد الثلاثة معًا = ٤. كم أ فقط؟

أ) ١٢
ب) ١٤
ج) ١٦
د) ١٨

سؤال ٩

عدد أ = ٢٥، ب = ٢٠، ج = ١٨، أ وب = ٨، أ وج = ٧، ب وج = ٦، والثلاثة = ٣. كم في الاتحاد؟

أ) ٤٢
ب) ٤٥
ج) ٤٨
د) ٥١

سؤال ١٠

في مجموعة من ٥٥ شخصًا، كان اتحاد ثلاث مجموعات يساوي ٤٧. كم شخصًا خارج المجموعات الثلاث؟

أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩

سؤال ١١

إذا كان عدد أ وب = ١١، وعدد الثلاثة معًا = ٤، فإن عبارة «أ وب فقط» تساوي:

أ) ٤
ب) ٧
ج) ١١
د) ١٥

سؤال ١٢

أي خطوة هي الأولى عند ملء شكل فن لثلاث مجموعات؟

أ) حساب أ فقط
ب) حساب الاتحاد
ج) وضع التقاطع الثلاثي
د) حساب الخارج

٢٣) ملخص الدرس

في مجموعتين، الاتحاد يساوي مجموع المجموعتين ناقص التقاطع. وإذا ظهر لفظ «فقط»، استبعد المشترك.

في ثلاث مجموعات، ابدأ دائمًا بمنطقة أ وب وج معًا، ثم احسب تقاطعات كل زوج فقط، ثم المناطق المنفردة. بعد ذلك يصبح حساب الاتحاد أو الخارج سهلًا.

تذكّر أن «أ وب» قد يشمل من هم أيضًا في ج، بينما «أ وب فقط» لا يشملهم. وهذه النقطة هي مفتاح معظم أسئلة فن ذات الدوائر الثلاث.